Рассмотрим идею проверки статистической гипотезы на примере. Предположим, психолог решил проверить пригодность разработанных ранее норм для имеющегося в его распоряжении теста интеллекта. Прежний нормативный показатель А = 10. На новой выборке численностью N= 100 человек он получил следующие результаты: М— 10,6; а = 3.
Различия действительно обнаружены. Но интуитивно понятно, что такой результат может быть получен случайно, даже если в действительности (в генеральной совокупности) различий нет, как и наоборот, когда различия на самом деле существуют. Поэтому точный ответ в отношении генеральной совокупности по результатам выборочного исследования получить невозможно, Но методы статистики, как уже отмечалось, позволяют оценить вероятность случайного получения такого различия при условии, что различий на самом деле в генеральной совокупности нет (верна Но).
В нашем примере Но: М} = А, то есть проверяется гипотеза, что среднее генеральной совокупности М, из которой извлечена выборка, равно А — 10. Предположим, что выборка одного и того же объема N извлекается из такой совокупности многократно. И каждый раз вычисляется выборочное среднее значение Мх. После многократного проведения таких опытов можно построить распределение выборочных средних значений. Понятно, что выборочные средние чаще будут близки к Л = 10, но иногда более или менее существенно отличаться от 10. Оказывается, что форма выборочного распределения для данного случая, как и для многих других, известна заранее (поэтому они называются теоретическими распределениями). Одна из основных теорем статистики — центральная предельная теорема — гласит, что распределение средних значений выборок, извлекаемых из одной и той же совокупности при достаточно большом N соответствует нормальному распределению. Среднее значение всех выборочных средних будет равно среднему значению совокуп-
1 Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. С. 687; Гласе Дж., Стэнли Дж. Статистические методы в педагогике и психологии. С. 247.
ГЛАВА 7. ВВЕДЕНИЕ В ПРОБЛЕМУ СТАТИСТИЧЕСКОГО ВЫВОДА
ности (в данном случае — А — 10), а дисперсия выборочных средних составит величину т2 = o^/N, где ох2 — дисперсия совокупности, N — объем каждой выборки (т еще называют ошибкой среднего).
Таким образом, заранее известно распределение средних для случая, когда верна Но. Это распределение позволяет определить, насколько вероятно то или иное случайное отклонение выборочного среднего от А — среднего в генеральной совокупности. Например, из свойств нормального распределения мы знаем, что примерно 68% площади под кривой нормального распределения находится в диапазоне ± о от среднего значения. Следовательно, 68% всех выборочных средних будет находиться в диапазоне А±т. Вероятность того, что выборочное среднее случайно попадет в этот диапазон составляет 0,68, а вероятность того, что оно будет отличаться от А больше чем на т составляет 1 — 0,68 = 0,32. Аналогичным образом мы можем определить, насколько вероятно получение данного конкретного (или большего) отклонения выборочного среднего от А при условии истинности Но.
Для нашего примера необходимо сначала определить, насколько выборочное среднее отличается от А в единицах стандартного отклонения, то есть определить соответствующее г-значение: