Методы выявления и оценки корреляционной связи

Для выявления наличия и характера корреляционной связи между двумя признаками в статистике используется ряд методов.

Рассмотрение параллельных данных (значений x и y в каждой из n единиц). Единицы наблюдения необходимо расположить по возрастанию значений факторного признака х (как в таблице справа) и затем сравнить с ним (визуально) поведение результативного признака у.

В нашей задаче в 6 случаях по мере увеличения значений x увеличиваются и значения y, а в 5 случаях этого не происходит, поэтому затруднительно говорить о прямой связи между х и у.

Графический метод – это графическое изображение корреляционной зависимости. Для этого, имея n взаимосвязанных пар значений x и y и пользуясь прямоугольной системой координат, каждую такую пару изображают в виде точки на плоскости с координатами x и y. Совокупность полученных точек представляет собой корреляционное поле (рис. Ошибка! Источник ссылки не найден.), а соединяя последовательно нанесенные точки отрезками, получают ломаную линию, именуемую эмпирической линией регрессии (рис. Ошибка! Источник ссылки не найден.).

Рис. 4. Корреляционное поле Рис. 5. Эмпирическая линия регрессии

Визуально анализируя график, можно предположить характер зависимости между признаками x и y. В нашей задаче эмпирическая линия регрессии (рис.Ошибка! Источник ссылки не найден.) похожа на восходящую прямую, что позволяет выдвинуть гипотезу о наличии прямой зависимости между величиной стоимостного внешнеторгового товарооборота и величиной таможенных платежей в федеральный бюджет.

Метод аналитических группировок используется при большом числе наблюдений для выявления корреляционной связи между двумя количественными признаками. Чтобы выявить наличие корреляционной связи между двумя признаками, проводится группировка единиц совокупности по факторному признаку х и для каждой выделенной группы рассчитывается среднее значение результативного признака . Если результативный признак у зависит от факторного х, то в изменении среднего значения будет прослеживаться определенная закономерность. Примером такой группировки могут служить данные об издержках обращения предприятий оптовой торговли с различным товарооборотом (см. табл. Ошибка! Источник ссылки не найден.).

Таблица 12. Условные пример аналитической группировки

Оптовый товарооборот, млн.руб.	Количество предприятий	Издержки обращения, % к оптовому товарообороту
менее 25 26-50 51-100 101-200 201-500 более 501		46,0 26,5 24,4 23,0 17,6 16,9

В последнем столбце табл. Ошибка! Источник ссылки не найден. приведены средние величины, рассчитанные на основе индивидуальных данных об издержках отдельных предприятий каждой группы. Данные таблицы Ошибка! Источник ссылки не найден. свидетельствуют, что чем крупнее товарооборот, тем меньше издержки обращения. Таким образом, с помощью простой аналитической группировки можно выявить наличие зависимости между рассматриваемыми показателями: объемом товарооборота как показателем размера предприятий и средним уровнем издержек обращения.

Метод корреляционных таблиц предполагает комбинационное распределение единиц совокупности по двум количественным признакам. Такая таблица строится по типу «шахматной», т.е. в подлежащем (строках) таблицы выделяются группы по факторному признаку х, а в сказуемом (столбцах) – по результативному у (или наоборот), а в клетках таблицы на пересечении х и у показано число случаев совпадения каждого значения х с соответствующим значением у. Общий вид такой таблицы показан на условном распределении 40 единиц по признакам х и у, где х – стаж работы, у – производительность труда (число изделий, вырабатываемых в час одним рабочим) – таблица Ошибка! Источник ссылки не найден.. Среднее значение по группам определяется по средней арифметической взвешенной по серединам группировочных интервалов.

Таблица 13. Условные корреляционной таблицы

Значение признака xj	Значение признака уi	Итого	Среднее значение по группам
менее 7,5	7,5-12,5	12,5-17,5	более 17,5
менее 2 2 – 4 4 – 6 6 – 8	– –	–	–	– –		8,75 12,08 15,31 16,87
Итого						14,00

Как видно из таблицы Ошибка! Источник ссылки не найден., по мере увеличения значений х итоговые групповые средние тоже увеличиваются от группы к группе, что свидетельствует о том, что между х и у существует корреляционная связь. О наличии и направлении связи можно судить и по «внешнему виду» таблицы, т.е. по расположению в ней частот: если частоты расположены в клетках таблицы беспорядочно, то это чаще всего свидетельствует об отсутствии связи между группировочными признаками (или о незначительной зависимости); если частоты сконцентрированы ближе к одной из диагоналей и центру таблицы, образуя своего рода эллипс, то это почти всегда свидетельствует о наличии зависимости между х и у, близкой к линейной. Расположение по диагонали из верхнего левого угла в нижний правый свидетельствует о прямой линейной связи, а из нижнего левого угла в верхний правый – об обратной.

На основе аналитических группировок и корреляционных таблиц можно не только выявить наличие зависимости между двумя коррелируемыми показателями, но и измерить тесноту этой связи, в частности, с помощью эмпирического корреляционного отношения.

,	(94)
,	(95)
.	(96)

где m – число групп по факторному признаку х;

k – число групп по результативному признаку у;

– средние значения результативного признака по группам;

– общее среднее значение результативного признака;

– индивидуальные значения результативного признака;

– частота в j-й группе х;

– частота в i-й группе у.

Рассчитаем это отношение для нашего примера (таблица Ошибка! Источник ссылки не найден.):

=(5*3+10*9+15*21+20*7)/40=14

=6,19599;

=16,5; =0,613.

Полученное значение =0,613 позволяет утверждать, что существует заметная связь между стажем работы и производительностью труда.

Коэффициент корреляции знаков (Фехнера) – простейший показатель тесноты связи, основанный на сравнении поведения отклонений индивидуальных значений каждого признака (x и y) от своей средней величины. При этом во внимание принимаются не величины отклонений ( ) и ( ), а их знаки («+» или «–»). Определив знаки отклонений от средней величины в каждом ряду, рассматривают все пары знаков и подсчитывают число их совпадений (С) и несовпадений (Н). Тогда коэффициент Фехнера рассчитывается как отношение разности чисел пар совпадений и несовпадений знаков к их сумме, т.е. к общему числу наблюдаемых единиц:

. (97)

Очевидно, что если знаки всех отклонений по каждому признаку совпадут, то К_Ф=1, что характеризует наличие прямой связи. Если все знаки не совпадут, то К_Ф=–1 (обратная связь). Если же åС=åН, то К_Ф=0. Итак, как и любой показатель тесноты связи, коэффициент Фехнера может принимать значения от 0 до 1. Однако, если К_Ф=1, то это ни в коей мере нельзя воспринимать как свидетельство функциональной зависимости между х и у.

Средние значения факторного и результативного признаков определяем по формуле средней арифметической простой (10):

; .

В двух последних столбцах таблицы Ошибка! Источник ссылки не найден. приведены знаки отклонений каждого х и у от своей средней величины. Число совпадений знаков – 10, а несовпадений – 2, тогда определяем коэффициент корреляции знаков (Фехнера) по формуле Ошибка! Источник ссылки не найден.:

К_Ф=

Таблица 14. Вспомогательная таблица для расчета коэффициента Фехнера

№ п/п	x	y	x –	y –
	27,068	172,17	–	–
	29,889	200,90	–	–
	33,158	232,10	–	–
	34,444	231,83	–	–
	37,299	246,53	+	+
	37,554	236,99	+	–
	37,755	233,40	+	–
	37,909	256,43	+	+
	38,348	261,89	+	+
	39,137	259,36	+	+
	40,370	253,62	+	+
	46,298	278,87	+	+
Итого	439,229	2864,09

Обычно такое значение показателя тесноты связи характеризует заметную прямую зависимость между x и y, однако, следует иметь в виду, что поскольку К_Ф зависит только от знаков и не учитывает величину самих отклонений х и у от их средних величин, то он практически характеризует не столько тесноту связи, сколько ее наличие и направление.

Список рекомендуемой литературы:

1. Закон Республики Казахстан «О государственной статистике». – Казахстанская правда, 2007, 7 мая.

2. Теория статистики. Учебник под.ред. Шмойловой Р.А. - Москва: Финансы и статистика, 2006.

3. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. - М.: Финансы и статистика,2008.

4. Гусаров В.М. Теория статистики. - М.: ИННТИ, 2000.

5. Громыко Г.Л. Общая теория статистики. Практикум. - М.: Инфра-М,2009.

6. Елемесова А.А., Бельгибаева К.К., Кииков Е.М., Молдакулова Г.М. Социально-экономическая статистика. - А.: Экономика. 2009

7. Статистический словарь. - М.: Финстатинформ, 2000.