Гравитационный захват нейтральных тел

Гравитационный захват нейтральных тел. В случае центрального взаимодействия нейтральных незаряженных тел возможно лишь их встречное движение под действием гравитационного притяжения. При этом может произойти гравитационный захват нейтрального тела меньшей массы телом большей массы на некотором расстоянии между телами ro начнется их встречное движение.

В дальнейшем прямолинейное встречное движение тел перейдет в движение по эллиптической орбите тела меньшей массы вокруг центрального тела. Рассмотрим вначале движение двух гравитационно взаимодействующих тел на этапе их прямолинейного сближения. Поскольку этапы прямолинейного и орбитального движения тел сопряжены в пространстве и во времени, то в качестве характерного масштаба скорости выберем среднюю орбитальную скорость V, а в качестве характерного линейного масштаба - большую полуось орбитального эллипса a. Тогда относительная скорость движения нейтральных тел на прямолинейном участке , 2.1 где U - относительная скорость тел, r - текущее расстояние между телами, ro- расстояние между телами в момент начала захвата, M1 , M2 - массы взаимодействующих тел M2 M1 . Первая производная от 2.1 по . 2.2 Приравняв производную нулю, найдем координату максимума скорости 2.3 и, далее, подставив 2.3 в 2.1, найдем максимальную скорость в системе двух тел . 2.4 Ускорение движения тел , 2.5 . При m 0. Свойства функций 2.1, 2.2 и 2.5 рассмотрены в 1. Координаты экстремумов функции f, N найдем, дифференцируя 2.5 по и приравняв производную нулю. Получим . 2.6 Величину ускорения при э найдем из 2.5 . 2.7 Координаты экстремумов функции э f N Этим значениям N соответствует э 0,5. Величину э при N1 и N2 найдем из 2.7 э1 0,84715 э2 1,84715. При э скорость движения тел . 2.8 При N 1 0,9428086. Энергия движения тел , 2.9 где. Энергия покоя при m . 2.10 Пороговая энергия при э . 2.11 Следовательно . 2.12 При N 1 . Зависимости min э f N однозначно определяют границу сферы, на которой происходит переход от прямолинейного движения к орбитальному, а зависимости m f N - границу сферы максимума относительной скорости тел 2 . Выясним, при каких условиях может происходить орбитальный переход.

Очевидно, на границе перехода rmin должно выполняться условие , 2.13 где Umin - относительная скорость тел при r rmin. Но Umin V min и, следовательно, в безразмерном виде условие 2.13 будет . 2.14 Подставив 2.8 в 2.14, получим неравенство . 2.15 Значения N 0,0314, при которых выполняется это неравенство, найдем, приравняв числитель и знаменатель 15. Следовательно, условие перехода от прямолинейного движения к орбитальному состоит в том, что на орбиту переходят лишь тела, относительная масса которых N 0,0314. Тела большей относительной массы не подвержены орбитальному переходу. Время встречного движения при гравитационном захвате нейтральных тел на интервале 1, min определяется зависимостью . 2.16 Здесь , G 6,67210-8 - гравитационная постоянная.

При 0 . 2.17 Среднее время движения на интервале 1, min при N 0 будет . 2.18 Время движения от точки захвата 1 до точки перехода одного из тел на эллиптическую орбиту вокруг другого тела min, в соответствии с 2.16, будет 2.19 Cредняя скорость прямолинейного движения на интервале 1, min 2.20 При N 1 2.21 Энергия, затрачиваемая на интервале движения 1, min при N 1 будет . 2.22 Зная ro, rmin и min, можно рассчитать среднеарифметическую скорость на интервале ro, rmin 2.23 и затем определить скорость в точке rmin точка перехода от прямолинейного движения к орбитальному 2.24 Из соотношения 2.19 следует, что между расстоянием ro и временем движения min существует взаимосвязь.

При N 1 min 1, поэтому справедливы следующие приближения и зависимость 2.19 можно представить в виде 2.25 или . 2.26 Отметим, что зависимость 2.26 аналогична третьему закону Кеплера для орбитального движения и отличается от него лишь постоянным множителем.

Зависимости 2.3, 2.4, 2.6, 2.8 при N 1 практически линейны относительно ln N. При N 0 эти зависимости будут ln m - 0,25 ln N - 0,693147, 2.27 ln min - 0,25 ln N - 0,752038, 2.28 ln m 0,5 ln N 0,693247, 2.29 ln min 0,5 ln N 1,386294. 2.30 Приведенные основные характеристики гравитационного захвата нейтральных тел безразмерны.

Для того, чтобы представит эти зависимости в реальном пространственно - временном измерении, необходимо знать величину ro, то есть начальное расстояние между телами.

Оценку этой величины можно получить, сопоставляя характеристики движения тел на этапах гравитационного захвата и орбитального движения. 3. Орбитальное движение тел. На границе происходит переход от прямолинейного движения к орбитальному тело меньшей массы N 0,0314 начинает двигаться по эллиптической орбите вокруг тела большей массы при этом периферийное тело приобретает вращение вокруг собственной оси. Орбитальное движение совершается по эллипсу, параметр которого остается постоянным.

При этом большая полуось эллипса, период обращения Т и средняя скорость движения по орбите V связаны соотношениями 3.1 или в безразмерном виде 3.2 где. В соответствии со схемой орбитального перехода, рассматриваемой в 2, большая полуось начального эллипса , 3.3 а эксцентриситет начального эллипса . 3.4 Так как параметр эллипса остается постоянным, то можно написать 3.5 где индексы н и к означают начальное и конечное современное значение параметра, а индекс о означает значение параметра при е 0. Но и можно написать откуда, с учетом 3.3 3.6 При N 0 3.7 или , 3.8 . 3.9 Сопоставив зависимости 3.1 и 2.26, получим также 3.10 3.11 Зная параметры начальной и конечной современной орбит и, можно рассчитать начальную среднюю скорость VH и начальный период обращения, используя всегда верные соотношения 3.1 и 3.2 , 3.12 , 3.13 а также рассчитать значения параметров и V при эксцентриситете орбиты е 0 3.14 3.15 . 3.16 При N 0 . 3.17 Далее определим скорость в перигелии 3.18 усредненные параметры 3.19 а также разности начальных и конечных параметров за время движения тела по орбите 3.20 и отношения При большом числе оборотов орбитального тела 3.21 Но эти же отношения могут быть получены другим способом.

Дифференцируя 3.1 по V, получим и, используя 3.1 3.22 Дифференцируя 3.1 по Т, получим 3.23 Но и, следовательно, 3.24 Подставив 3.24 в 3.23, получим 3.25 Расчеты разностей и их отношений с использованием зависимостей гравитационного захвата и расчеты частных производных по зависимостям 3.22, 3.24, 3.25, проведенные для планет и их спутников показали, что действительно соотношения 3.21 выполняются.

Теперь появляется возможность получить оценку числа оборотов, совершаемых нейтральным космическим телом за время орбитального движения и времени жизни на орбите.

Преобразуя 3.24 к виду , 3.26 интегрируем в начальных и конечных пределах 3.27 где n - число оборотов, совершенных телом за время движения на орбите средний период обращения тела отношение среднего периода обращения Земли к единице времени 1 сек. величина, равная, но безразмерная.

Получим 3.28 Аналогично, преобразуя 3.25 к виду 3.29 и учитывая, что интегрируем3.29 в начальных и конечных пределах . 3.30 Получим . 3.31 Очевидно, зависимости 3.31 и 3.28 должны приводить к одинаковому результату, что и подтверждается расчетами.

Другой подход к оценке числа оборотов, совершаемых орбитальным телом за время, соответствующее изменению эксцентриситета от до е0, состоит в следующем.

Угловое смещение перигелия орбитального тела постоянно от оборота к обороту.

В самом деле, согласно А.Эйнштейну, угловое смещение перигелия орбитального тела 3.32 где с - скорость света в вакууме.

Величины G с, входящие в это соотношение, есть константы, а произведение - параметр эллиптической орбиты, который за все время орбитального движения также остается постоянным. Следовательно 3.33 где 3.34 где 3.35 где. Дифференцируя эти соотношения по e, получим , 3.36 , 3.37 . 3.38 Число оборотов, совершенных, например, от начала орбитального движения эксцентриситет орбиты eн до момента, когда эксцентриситет орбиты становится e0 , 3.39 или 3.40 где - изменение большой полуоси орбитального эллипса, периода обращения и средней скорости движения по орбите за 1 оборот.

При большом числе оборотов, и можно написать 3.41 или . 3.42 Из соотношений 3.36, 3.37, 3.38 следует, что 3.43 Предположим, что эти соотношения справедливы и для средних значений, то есть Тогда или 3.45 Расчеты числа оборотов орбитальных тел планет и спутников по этим зависимостям и по зависимостям, аналогичным 3.28 и 3.31 приводят к одинаковым результатам.

В соответствии с принятыми определениями 3.46 Следовательно 3.47 Но поэтому 3.48 При N 0 и об. Полученный результат означает, что любое орбитальное тело планета, спутник, комета от начала орбитального движения до момента е 0 совершает примерно одинаковое число оборотов разница числа оборотов обусловлена разницей значений eн. Орбитальная скорость космического тела изменяется во времени. Изменение скорости происходит из-за превращения потенциальной энергии взаимодействия тел в кинетическую энергию орбитального движения.

Очевидно, что скорость орбитального движения не может превысить некоторого предела, при котором произойдет переход от орбитального движения к движению по параболической траектории и освобождение орбитального тела от действия притяжения центрального тела. Этим предельным условием будет , 3.49 то есть скорость в перигелии станет равной максимальной скорости в системе двух тел. Подставив 3.18 в 3.49, получим 3.50 и так как, то 3.51 При значении e eкр произойдет переход от орбитального движения по эллипсу к движению по параболической траектории и освобождение орбитального тела от действия притяжения центрального тела. Зная величину eкр критический эксцентриситет орбиты, а также величины, можно рассчитать величину, а затем последовательно значения остальных параметров, определяющих условия этого перехода.

Так . 3.52 Используя 3.3, 3.4, 3.7, и 3.51, получим при N 1 , 3.53 . 3.54 Далее , 3.55 . 3.56 При N 1 , 3.57 . 3.58 Расстояние между телами в критическом перигелии, а в критическом афелии. Из полученных результатов следует, что, и. В то же время, и , то есть зависимости и должны иметь экстремум на интервале времени от начала орбитального движения до критического перехода ухода с орбиты. Дважды дифференцируя по e 3.33, 3.34 и 3.35, действительно убеждаемся, что функции и при e 0 имеют минимум, а функция - максимум.

Отметим, что несмотря на уменьшение средней орбитальной скорости на интервале, скорость в перигелии увеличивается, достигая критического значения при. На рис.1 показан примерный вид этих зависимостей для Земли аналогичный вид они имеют для других планет и спутников.

Эти зависимости представляют собой параболы с вершиной при е 0. Левая ветвь параболы начинается от линии, правая ветвь заканчивается при пересечении ею линии. Параболы частично симметричны относительно линии е 0 на интервале слева от от до и на интервале справа от от до. Таким образом, в точках пересечения правой ветви параболы с прямой значения параметрических функций будут в точности равны их начальным значениям.

Учитывая это свойство параметрических функций, и и интегрируя 3.27 в пределах от до и от 0 до, получим зависимость 3.59 или, интегрируя 3.30 в пределах от до и от 0 до получим зависимость . 3.60 Здесь - число оборотов, совершенных телом за время движения от правая ветвь параболы до - средний период обращения за это же время - отношение среднего периода обращения Земли за это же время к единице времени 1 сек величина, равная, но безразмерная.

Рис.1. Зависимости 1 2 - и 3 - для Земли Полное критическое число оборотов, совершаемых орбитальным телом будет . 3.61 Здесь уместно сделать следующее замечание. Для расчета оценки числа оборотов на интервале значений эксцентриситета орбиты от до левая ветвь параболы и от до правая ветвь параболы необходимо знать не только значение эксцентриситета, но и знак градиента параметрических функций или. Если знак градиента этих функций отрицательный, то число оборотов рассчитывают по зависимости 3.28. Если знак градиента этих функций положительный, то число оборотов будет, где - число оборотов, рассчитанное по зависимости 3.28, но в пределах изменения параметрических функций от до и от до. Знак градиента функций и может быть определен только опытным путем.

Время жизни космического тела на орбите сек, 3.62 или, современных земных лет лет, 3.63 где сек - современный период обращения Земли. Среднее изменение периода обращения за год на интервале или. Но, следовательно . 3.64 При и. Это значение должно быть близким современным значениям планет и спутников, у которых значения начального эксцентриситета их орбит мало отличается от значения при, а современные значения эксцентриситета орбиты близки нулю. Строго говоря, значение K в 3.23, определяемое 3.46, зависит от эксцентриситета орбиты Земли, но в пределах изменения эксцентриситета от до e 0 может быть принято постоянным. При значительном изменении эксцентриситета . 3.65 Учитывая, что, получим , 3.66 Эта зависимость одинакова для всех орбитальных тел на интервале изменения эксцентриситета от до правая ветвь параболы, рис.1. Она же позволяет рассчитать изменение среднего периода обращения Земли на интервале от до, входящего в соотношения 3.28, 3.31. Как видно из рис.1, градиент функции a fe, T f e, V f e мал в области значений 0 e 0.33 справа от e 0. В области значений e 0.33 справа от е 0 градиент функций a fe и T f e возрастает, то есть при е 0.33 быстро увеличивается с каждым оборотом как большая полуось орбитального эллипса, так и период обращения периферийного тела. Из сравнения зависимостей 3.36, 3.37 и 3.38 также следует, что наибольший темп изменения во времени имеют период обращения и большая полуось орбитального эллипса.

Интенсивность полного излучения диполя, вращающегося в одной плоскости XY c постоянной угловой скоростью средняя за период обращения при V c 3.67 где - для одного заряда, движущегося по эллипсу с большой полуосью. При движении нейтрального тела по эллиптической орбите аналогом электрического заряда q является величина, имеющая ту же размерность. Следовательно, интенсивность полного гравитационного излучения диполя, вращающегося с постоянной угловой скоростью при будет 3.68 где секг - постоянная диполя.

Дипольное гравитационное излучение изменяется во времени, так как изменяются и T в соответствии с соотношениями 3.33 и 3.34. Подставив 3.33 и 3.34 в 3.68, получим 3.69 Максимальное значение соответствует периоду обращения при е 0, минимальное. Дипольное излучение поляризовано по эллипсу с отношением длин полуосей, где - угол между направлением излучения и осью Z. В направлении оси Z дипольное излучение поляризовано по кругу.

Энергия излучения гравитационного диполя 3.70 В точке перехода от прямолинейного движения к орбитальному относительная скорость двух тел равна и тело меньшей массы, кроме перехода к движению по эллиптической орбите, приобретает еще и вращение вокруг собственной оси. Поэтому уравнение энергетического баланса в точке перехода будет 3.71 где М - масса орбитального тела начальный момент инерции относительного фокуса эллипса начальные моменты инерции и угловая скорость вращения тела вокруг собственной оси. Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в фокусе эллипса . 3.72 Следовательно 3.73 Но 3.74 В нашем случае n 1 2, то есть n 1, и 3.74 вырождается в интеграл , 3,75 С учетом 3.75 3.76 Известно, что 3.77 Подставив 3.76 и 3.77 в 3.71, получим 3.78 и - начальный период вращения. 3.79 Энергия, затрачиваемая на движение периферийного тела М по орбите, в соответствии с 3.76 будет где. Энергия, затрачиваемая на вращение периферийного тела вокруг собственной оси , 3.81 где - средний радиус тела период вращения.

Отметим, что орбитальный переход при гравитационном захвате нейтральных тел является своеобразным защитным барьером, препятствующим прямому проникновению свободно перемещающихся космических тел к центральному телу. Поверхности центрального тела могут достигнуть лишь периферийные тела, кинетическая энергия которых больше энергии орбитального перехода и направление вектора скорости которых по отношению к центральному телу пересекает его миделево сечение. 4. Уход тела с орбиты.

Выясним, по какой параболической траектории будет двигаться тело после его ухода с орбиты. Уравнение этой траектории найдем из следующих соображений.

Пусть тело совершает орбитальное движение по эллипсу.

Начало координат разместим в центре эллипса рис.2. Уравнение траектории тела при орбитальном движении 4.1 где и b - большая и малая полуоси эллипса.

Уравнение параболы с вершиной в перигелии эллипса и осью симметрии вдоль оси x будет , 4.2 где p - параметр параболы.

Очевидно, что условие ухода тела с орбиты состоит в равенстве радиусов кривизны для эллипса и параболы в точке начала ухода, то есть в перигелии. Но радиус кривизны указанной параболы и эллипса в перигелии одинаков, то есть R p p, где - параметр эллипса.

Следовательно, уравнение траектории, по которой тело уходит с орбиты, будет 4.3 В точке ухода тела с орбиты должен рассматриваться эллипс с критическим эксцентриситетом. Учитывая, что 4.4 окончательно получим уравнение траектории ухода тела с орбиты 4.5 При x - y 0 при x 0 то есть на интервале траектория критического эллипса и траектория параболы совпадают эллипс вписан в параболу. Таким образом уход тела с орбиты происходит в точке с координатами x 0 При больших расстояниях от точки ухода с орбиты тело движется по траектории . 4.6 Скорость ухода тела с орбиты, как это видно из рис.2, равна Vкр. Рис.2.Схема ухода тела с орбиты.

В то же время скорость освобождения в точке ухода будет 4.7 и направлена в сторону удаления от центрального тела вдоль линии, соединяющей точку ухода с фокусом эллипса P. Из рис.2 видно, что и, следовательно, скорость освобождения в точке ухода тела с орбиты 4.8 то есть 4.9 Полученный результат означает, что скорость ухода тела с орбиты по траектории 4.5 меньше скорости освобождения.

Следовательно, энергия освобождения периферийного тела, уходящего с орбиты по траектории 4.5, в два раза меньше энергии освобождения того же тела, уходящего от тела большей массы по линии их центрального взаимодействия. Докажем, что в точке ухода тела с орбиты энергия вращения Esкр - малая величина. Если предположить, что сразу после точки ухода тело движется прямолинейно а не по параболической траектории, то уносимая им кинетическая энергия 4.10 так как в точке ухода рис.2 локальная скорость тела равна средней орбитальной скорости при движении тела по критическому эллипсу. С другой стороны, потенциальная энергия в точке ухода 4.11 где - расстояние между телами в момент ухода с орбиты тела массой M2. Сравнивая 4.10 и 4.11, получим то есть третий закон Кеплера для орбитального движения.

Поэтому Esкр - малая величина, период вращения становится большим, то есть в момент ухода тела с орбиты оно практически не вращается вокруг собственной оси. Так как после ухода тела с орбиты гравитационный диполь перестает существовать, то интенсивность и энергия излучения диполя равны нулю. Выясним, как будет изменяться скорость тела после его ухода с орбиты.

Дифференцируя 4.5 по x, получим 4.12 При x 0 4.13 Следовательно 4.14 Но в точке ухода V0 Vкр и поэтому 4.15 где Vx - скорость тела на расстоянии x от точки ухода. Зная зависимость скорости тела от расстояния после его ухода с орбиты, можно получить оценку среднего времени движения тела на этом же расстоянии.

Обозначим Зависимость 4.15 примет вид где 4.16 Разделяя переменные в 4.16 и интегрируя при начальных условиях t 0 при 0, получим 4.17 При 1 4.18 Переходя к размерным величинам и учитывая, что получим 4.19 то есть аналог третьего закона Кеплера. Обратим внимание, что время свободного движения тела после его ухода с орбиты не зависит от массы тела, а определяется лишь пройденным расстоянием и массой центрального тела. Следовательно, время движения тел на одном и том же интервале движения неодинаково для разных центральных систем принцип относительности времени движения периферийных тел в центральных системах.

Среднее время движения на интервале 0, при 1 будет 4.20 или 4.21 Итак, мы знаем картину движения периферийного тела в начале орбитального перехода и после ухода с орбиты. Однако, не вполне ясно, по какой траектории будет двигаться тело при орбитальном движении. Как отмечалось, все параметры орбиты большая полуось орбитального эллипса, период обращения, средняя орбитальная скорость, эксцентриситет изменяются непрерывно от оборота к обороту, что отражают зависимости 3.33 - 3.38. Найдем средние значения этих функций на интервале изменения эксцентриситета орбиты от до 0. Обозначим 4.22 Тогда 4.23 При N 0 среднеарифметическое значение на том же интервале. 4.24 При N 0 4.25 При N 0 Далее обозначим 4.26 4.27 4.28 Следовательно 4.29 4.30 4.31 При N 0 4.32 Как видно, среднеинтегральные значения функций и на интервале от eн до e 0 мало отличаются от их среднеарифметических значений, что вполне оправдывает применение правил линейной интерполяции к этим функциям на этом интервале.

Система из трех уравнений эллипса в пространственных полярных координатах r i, yi, zi с центром в фокусе эллипса 4.33 где i 1, 2, 3, вместе с соотношениями 4.34 и начальном условием ei eнi при 0 определяет пространственную кривую, по которой движется орбитальное тело в системе координат с галактическим центром здесь индекс 1 относится к движению Солнца, индекс 2 - к движению планет или комет, индекс 3 - к движению спутников планет.

В этой системе пространственных полярных координат Солнце движется по эллипсу, расположенному в плоскости его эклиптики, планеты и кометы - по пространственной эллиптической спирали элоиде с изменяющимся эксцентриситетом каждого ее витка и переменным шагом между витками h v Tпл вдоль оси элоиды - траектории движения Солнца орбитальная скорость движения Солнца v , Tпл - период обращения планеты или кометы.

Спутники планет движутся по аналогичным элоидам с переменным шагом между витками h Vпл Tсп вдоль оси элоиды - траектории движения планеты Vпл - орбитальная скорость планеты, Тсп - период обращения спутника. Описание такого вида траекторий движения космических тел достаточно сложно, поэтому ограничимся описанием траекторий орбитального движения планет вокруг Солнца или, что то же, спутников вокруг планет.

В этом случае траектория орбитального тела может быть приближенно представлена плоской эллиптической спиралью с изменяющимся от оборота к обороту эсцентриситетом и расположенной в плоскости эклиптики планеты спутника.

Уравнение каждого из эллипсов, последовательно составляющих эту спираль, в полярных координатах, центр координат - в одном из фокусов эллипса, полярная ось направлена от фокуса к ближайшей вершине, рис.3 будет 4.35 где Большая полуось эллипса 4.36 Малая полуось 4.37 Рис.3. Таким образом, уравнение 4.35 описывает семейство эллипсов, практически переходящих один в другой и последовательно составляющих спираль эллипсоиду при изменении эксцентриситета эллипсов от до рис.3. Конечно, эксцентриситет орбиты изменяется и в течение одного оборота, но эти изменения столь незначительны, что ими в практических расчетах можно пренебречь.

Рассмотрим основные характеристики эллипсоиды. Эллипсоида незамкнута и конечна, она состоит из двух ветвей рис.3 ветви, начинающейся в точке и заканчивающейся в точке и ветви, начинающейся в точке и заканчивающейся в точке В этой точке или ей симметричной тело уходит с орбиты и далее траектория его движения - парабола 4.5. Тело может двигаться по эллипсоиде как по часовой стрелке, так и против нее в зависимости от того, какое направление оно приобретает в точке начала орбитального движения. Характерные точки эллипсоиды вершины 4.38 , сопряженные точки 4.39 Расстояние между фокусами каждого эллипса 4.40 Расстояние между фокусом и ближайшей вершиной 4.41 Площадь окружности 1 при е 0 4.42 Отношение площади каждого эллипса к площади окружности 1 4.43 Длина окружности 1 4.44 Отношение периметра каждого эллипса к длине окружности 1 4.45 где - полный эллиптический интеграл 2 рода. Директрисы каждого эллипса 4.46 Угловые коэффициенты сопряженных диаметров каждого эллипса 4.47 Радиус кривизны в любой точке каждого эллипса 4.48 Радиус кривизны в характерных точках вершины А и В R1 вершины С и D 4.49 сопряженные точки и . 4.50 Обратим внимание, что действительная траектория орбитального движения элоида никогда не проходит через одну и ту же точку пространства, а в сопряженных точках пересекаются лишь проекции витков элоиды в эллиптических координатах с галактическим центром на плоскость эклиптики планеты. 5.