Асимптотическая стабилизация с использованием интеграла движения. В своей статье 1 Баумгартрассматривает механическую систему, составленную из N точек, где уравнения движенияотносительно инерциальной декартовой системы координат и времени t задаются в следующем виде , 2.1 где Fi внешние силы. Предполагается, что соотношение в форме 2.2 можнополучить из этой системы.
Поэтому система имеет первый интеграл 2.3 гдепостоянная kопределяется начальными условиями.
Уравнение 2.3 принимаются за внутреннююнеголономную связь В течение численного интегрированияуравнений движения 2.1 значения функции, в котором kдолжна быть константой, используются как проверка.
В силу неустранимой, вычислительной ошибки, которую компьютер достигает после n шагов на момент времени t0 , имеет значение Если быне добавочные ошибки, которые получаются в течение дальнейшего интегрирования, значение остается равным как следует из соотношения котороеявляется свойством наличной дифференциальной системы Автор желает улучшить эту ситуациютак, чтобы значение уменьшилось до k в течение дальнейшего интегрирования.
Чтобы выполнить это онвводит связь f, котораяуменьшит ошибку элемента k. Таким образом, связь представляется в форме 2.4а где f линейна, относительноускорения. Если система подвергается связям, которые содержат ускорения, то можно использовать принцип Гаусса.
Гауссова связь выбирается в формедифференциального уравнения 2.5 где положительная функция. Гауссова связь обладает свойствомпонижения ошибки элемента, которая в данном случае должна иметь значение k. Начальная связь предполагает выбор, который приводит к N const, и не уменьшает ошибку элемента k. Поэтому необходим выбор. Выбор подходит для многихзадач, при этом неверное значение уменьшается экспоненциально.
Правило Гаусса дает уравнениядвижения, которые удовлетворяют связи 1 2.6 где множитель Лагранжа. В случае одной связи очень легкорешить систему 2.6 для ускорений и исключить множитель Лагранжа. Результатомявляется следующая дифференциальная система, подходящая для численногоинтегрирования 2.7 Правая сторонауравнения 2.7 есть фиктивная сила реакции или стабилизирующая сила. Эта силаравняется нулю в аналитическом вычислении, но не для компьютера.2.2 Асимптотическаястабилизация с помощью энергетического соотношения На примере стабилизирующего метода 2.6 в качестве 2.5 Баумгарт рассматривает энергетическое соотношение. Вэтом случае внешние силы зависят от потенциала U, который зависит только от вектора положенияxi 2.8 Этоприводит к хорошо известному соотношению энергии 2.9а где E постоянная полная энергия.
Условие, что сумма кинетической ипотенциальной энергий должна быть постоянной, можно интерпретировать каквнутреннюю неголономную связь 2.9b Чтобы применить свой метод дляуменьшения ошибок Баумгарт вводит Гауссову связь 2.10 иполучает энергостабилизирующие уравнения движения 2.11а илипосле сокращения 2.11b Этотметод уменьшения ошибок можно легко расширить для возмущенного случая.
Получается 2.12а вместес 2.12b где малый возмущенныйпараметр и возмущенные силы.2.3 Асимптотическаястабилизация с помощью законов сохранения в задаче N-тел Обозначим вектор положения точки с массой mi как ri. Уравнение движенияесть 2.13 где U хорошо известныйгравитационный потенциал. Автор предполагает, что центр масснеподвижен и 2.14 Этосоотношение легко выполняется путем использования соответствующей системы координат.
Для уравнения движения 2.14 существует следующие известные законы сохранения Угловой момент 2.15 Соотношение энергии 2.16 где c постоянный вектор углового момента и E постоянная общая энергия.
Стабилизирующие Гауссовы связи есть 2.17 и 2.18 Выражения 2.17 и 2.18 линейныотносительно ускорения. Уравнения движения, которое содержитфиктивные стабилизирующие силы реакции связиимеют теперь форму 2.19 где векторный множитель, а скалярный множительЛагранжа. Из уравнения 2.19 видно, чтосуммированием по всем i можно избавиться не только отвнутренних сил, но также от фиктивных стабилизирующих сил 2.20 которыесочетаются с уравнением 2.14 Однако фиктивные силы реакции неразрушают соотношение 2.14 , поскольку теперь вводятся подогнанные координаты, которые удовлетворяют соотношению 2.14 автоматически.
Но перед этим должна быть разрешенасистема уравнений движения 2.17 - 2.19 относительно ускорения r, и исключены 4 скалярных множителяЛагранжа. Затем автор вводит исправленныекоординаты. Первая возможность есть 2.21 Другаявозможность есть введение координат Якоби С помощью введения исправленныхкоординат понижается степень свободы системы.
Некоторые замечания - представленный стабилизирующий методможет быть более эффективным для задачи трех или четырех тел, чем для задачимногих тел. - если динамическая задача N-тел является слабовозмущенной, то вектор углового момента c и общая энергия E незначительно отличаются отпостоянных величин и метод стабилизации еще может быть применен при этомдополнительные уравнения 2.22 должныбыть приняты во внимание. 3 Численная стабилизация дифференциальныхуравнений кеплеровского движения 3.1