Неустойчивость классических уравнений. В полярных координатах уравнения движенияесть 3.1 K2гравитационный параметр притягивающего центра масс и точка обозначает дифференцированиепо времени t. Уравнение энергии 3.2 естьпервый интеграл уравнения 3.1 и h отрицательная общаяэнергия частицы.
Частное решение уравнения 3.1 есть круговые движениярадиусов. Их полярные углы соответственно 3.3 Ляпуновскаяустойчивость требует, чтобы была произвольно малойвеличиной при соответствующем малом выборе. Теорема1 Дифференциальная система 3.1 является неустойчивой в смысле Ляпунова, так как изменение 3.3 со временем в кругом движении зависит от радиусов.
В статье Баумгарта 2 теорема 1подтверждается обсуждением вариационных уравнений системы 3.1 . За опорноекруговое движение принимается r a с 3.4 Результирующеевариационное уравнение имеет вид 3.5 3.6 Ачастное решение , 3.7 соответствуетограниченному круговому решению.
Общее решение системы 3.5 , 3.6 получаетсяпутем добавления чисто периодических членов, которые не существенны дляисследования стабилизации. Из правой части соотношения 3.7 следует теорема 2. Теорема2 В случае кругового движения нестабильность теоремы 1 линейна угловойкоэффициент есть. Далее обсуждаются особенностипоказателей степени вариационных уравнений. Результатзаписывается в виде матрицы Собственныезначения матрицы есть. Ранг матрицы равен 3, следовательно существует только одинсобственный вектор соответствующий повторяющемся собственному значению, равномунулю.
Эта ситуация обеспечивает линейную неустойчивость. Задача устойчивостиозначает уменьшение ранга до значения 2. 3.2