Стабилизация кругового кеплеровского движения. Много попыток было сделано, чтобыдовести до конца эту задачу. Они были неудачны, так как физическое время t использовали как независимую переменную. Баумгарт такжепродолжил изучать эту задачу, но за новую независимую переменную взял s, которая удовлетворяетследующим требованиям.
Соотношение определяется с помощьюустойчивого дифференциального уравнения, которое не связано с уравнением орбиты. Это достигается преобразованием уравнения 3.1 к виду 3.8 Использовалосьуравнение энергии 3.2 . Новая независимая переменная s определяется дифференциальнымсоотношением. 3.9 Уравнение 3.8 становится 3.10 или 3.11 Это дифференциальноеуравнение для вычисления физического времени t устойчивов смысле Ляпунова при условии h gt 0. Замечание Общее решение уравнения 3.11 есть 3.12 Ввозмущенном случае может быть использовано любое дифференциальное уравнениеподобное уравнению 3.11 или формула 3.12 где не постоянныевеличины, но медленно меняющиеся функции.
Причем первый член в 3.12 естьвременной элемент в смысле Штифеля иШайфеля. Основные уравнения 3.1 и 3.2 перепишутся после введения 3.9. как 3.1а 3.2а 3.13 Поаналогии могут быть получены значения для угловой скорости кругового движения. А так как еще зависит от r, следовательно, справедлива теорема Теорема3 Дифференциальная система 3.1а неустойчива в смысле Ляпунова. Систему 3.1а дополняется регулирующим членом, который используется в левой части уравнения 3.2а и он фактически равен нулю. Таким образом, r уравнение 3.1а перепишется как 3.14 или 3.15 весовой множитель.
Правая часть уравнения 3.1а не меняется. Контрольный член эквивалентен фиктивной центральной силе. Независимостьугловой скорости увеличивает надежду, что дифференциальная система 3.16 3.17 болееустойчива и лучше ведет себя, чем система 3.1 . Теорема4 В случае кругового движения неустойчивость системы из теоремы 3 линейна угловой коэффициент. Введение фиктивно времени s . ослабляет нестабильностьпосредством множителя Теорема 2 .Баумгартрассматривает стабилизирующую систему 3.16 при . 3.18 Общеерешение стабилизирующей системы 3.18 есть 3.19 Следовательно, вариационные уравнения устойчивы.
При введении 3.20 уравнение 3.18 преобразуется как 3.21 Собственныезначения матрицы есть 0, 0 ее ранг равен двум, и. существуют два линейно независимыхсобственных вектора.
Эта ситуация дает стабильность вариационных уравнений.3.3