Уравнения связей. Уравнения, которые заставляют решениеоставаться на первоначальной интегральной гиперповерхности получаются путемиспользования множителей Лагранжа.
Чтобы найти экстремум функции двух переменных, при условии связи 4.1 двауравнения 4.2 должныбыть решены с помощью уравнения 4.1 , чтобы определить величины x, y, и. Где, множитель Лагранжа. Для динамической системы с двумястепенями свободы предполагается, что есть вектор состоянияв фазовом пространстве, где координаты и скорости. Пусть 4.3 интегралсистемы.
Уравнение 4.3 определяет 3 мерную гиперповерхность, помещенную вфазовое 4 мерное пространство. В течение процесса численногоинтегрирования системы, вычисленное решение, полученное на время t, выглядит следующимобразом где вычисленные положениякомпонент, а вычисленные скорости. Из-за ошибок в вычислительной процедуре, интеграл выполняться не точно, но 4.4 где малая величина. Решение покидает интегральную поверхность, определенную уравнением 4.3 и остаетсяна поверхности определенное уравнением 4.4 . Это используется для того, чтобыполучить поправки и вычислить вектора так чтобы 4.5 Квадратвеличины вектора поправок можно записать как 4.6 Поправкивыбираются так чтобы функция уравнения 4.6 минимизировалась, при условии связей 4.5 . Для 4 мерного случая уравнения 4.2 имеют вид 4.7 Уравнения 4.5 и 4.7 решаются для пяти неизвестных и. Уравнение 4.5 линеаризуется обычным способом 4.8 Так какошибки вычислений и, следовательно, необходимые поправки малы, члены второгопорядка и выше могут быть отброшены.
Решение уравнений 4.7 и 4.8 дляпоправок при условии 4.3 и 4.4 имеет вид 4.9 Векторпоправок добавляется квычисленному вектору состояния, чтобы получить новый вектор состояния который удовлетворяетинтегралу 4.3 , с ошибкой порядка. Уравнение плоскости, заданное 4.8 исключает члены второгои выше порядков.
Результат 4.9 можно обобщить надинамическую систему порядка 6n, имея p интегралов. Вектор состояния системы, где вектор столбецв фазовом пространстве с компонентами. Обозначим вектор положения как, а вектор скорости как. Вектор состояния можно записать в следующем виде 4.10 Следовательно, уравнения движения системы есть 4.11 гдевектор F есть функция вектора x и времени, pинтегралов системы записываются как 4.12 Уравнение 4.11 решается численныминтегрированием.
Частные производные интегралов энергии 4.12 относительнокомпонент вектора состояния есть элементы матрицы. Так что, Намомент времени t, из-за ошибок вычисления, некоторые или все pкомпонент вектора E неравны нулю. Так что где это вектор ошибок, чьиэлементы малые величины.
Желательно вычислить вектор поправоктак чтобы вектор удовлетворялуравнению Вектор выбирается так, чтобывеличина была минимальной. Здесь,W весовая матрица и верхнийиндекс T означаетоперацию транспонирования матрицы. Как в уравнении 4.8 , каждый элементвектора E разлагаетсяпо степеням вектора . .Членывторого порядка и выше отбрасываются, при, разложение уменьшается до 4.14 Решение, заданное уравнением 4.7 принимает вид 4.15 Уравнения 4.14 и 4.15 решаются относительно 6n p неизвестных компоненты двух векторов. Уравнение 4.15 разрешается относительно, результат подставляется в уравнение 4.14 и получаем Последнееуравнение разрешается относительно и результатподставляется в уравнение 4.15 . Решение для вектора поправок будет иметь вид 4.16 Длягравитационной системы, вектор F уравнения 11 задаетсякак 4.17 где обозначает векторстолбец, чьи 3nкомпоненты есть. U отрицательная функцияпотенциальной энергии системы и определяется как Численноеинтегрирование системы уравнений 4.11 относительно Fопределенное уравнением 4.17 , дает вектор решения на время t. Поправки могут бытьвычислены с помощью уравнения 4.16 . 4.3