Оценка метода. Метод представленный здесь былприменен к численному интегрированию нескольких динамических систем, чтобыопределить их практическое значение.
Рассматриваемыми системами были гармоническийосциллятор, гравитационная система двух тел и гравитационная система 25 тел. Метод был применен к гармоническомуосциллятору и к системе двух тел с помощью следующей процедуры.
Два множестварешений получены путем численного интегрирования с различными начальнымиусловиями.
Первое множество решений получено без использования интегралов, в товремя как другое множество получено с использованием поправок определенныхрассматриваемым методом. Поправки применялись к вектору состояния на каждом шагеинтегрирования. Все результаты интегрирования сравнивались с истинным решениемсистемы, чтобы определить относительную точность неисправленного и исправленногорешений.
Решения гармонического осциллятора получены путем использования методаРунге-Кутты 4 порядка с постоянным шагом. Оба неисправленное и исправленноерешения гармонического осциллятора использовали такой же размер шага и такое жечисло шагов интегрирования. Решения системы двух тел были получены путемиспользования процедуры предиктора-коректора с переменным шагом.
Оба решения, неисправленное и исправленное, для системы двух тел получены интегрированием содним и тем же шагом и одним и тем же числом шагов интегрирования. Применение метода к гармоническомуосциллятору в фазовом 2 мерном пространстве показывают не значительнуюразность в точности между исправленным и неисправленным решениями. Применение метода к системе двух тел вфазовом 4 мерном пространстве над областью начальных условий показал большуюразницу между исправленным и неисправленным решениями.
Исправленные решениябыли на три порядка более точны, чем неисправленные решения. Различные результаты, полученные длягармонического осциллятора и системы двух тел, объясняют, когда и почему методявляется важным. Ошибки в интегралах гармонического осциллятора малы по сравнениюс ошибкой в параметре состояния решения. Поскольку гармонический осцилляторустойчивая система, решение с малой ошибкой не будет отклоняться от решениясистемы без ошибок. Ошибки в интегралах системы двух тел также малыотносительно параметра состояния решения.
Но система двух тел не устойчива всмысле Ляпунова и, следовательно, система с ошибками будет расходиться от системыбез ошибок. Метод был применен к гравитационнойсистеме 25-тел, используя стандартные начальные условия. Сначала было выполненовысокоточное, неисправленное численное интегрирование системы. Ошибка усеченияинтегрирования была понижена до предельной компьютерной мощности. Системуинтегрировали вперед и назад по времени.
Это решение было получено как точное, стандартное решение с которым другие, менее точные сравнивались. Программа численного интегрирования, которую использовали для оценки исправленного метода Рунге-Кутты-Филбергаседьмого порядка переменного шага, была применена к задаче 25 тел. Двамножества решений получены с помощью численного интегрирования. Первая системапорядка 6nинтегрировалась без использования интегралов. Затем систему порядка 6n интегрировали и все илиразличные комбинации 10 интегралов системы были использованы.
Все решениясравнивались с наиболее точным стандартным решением. Кроме того, была выполненапроверка по результатам прямого и обратного интегрирования. Как показывают результаты, МетодНакози дает более эффективный численный процесс интегрирования, так какполучается наибольшая точность при использовании одинакового времени вычисленияи такая же точность при меньшем времени вычисления. Использование толькоинтеграла энергии дает более эффективное численное интегрирование, чеминтегрирование, использующее все 10 интегралов. Причина этого в следующем 1 Ошибка в энергии существенно больше, чем ошибки в интегралах углового момента ицентра масс. 2 Использование всех 10 интегралов требует обращения матрицыбольшой размерности, что неудобно и приводит к большим затратам времени.
Рассмотренный метод можно применять кчисленному решению любой системы дифференциальных уравнений, которая обладаетинтегралами. Интегральные соотношения можно также ввести искусственно, расширяяразмерность системы. 5. Об эффективности и точности метода Накози приинтегрировании ограниченной задачи трех тел 5.1Водные замечания В работе 4 автор предпринял попыткуприменить метод стабилизации П. Накози к ограниченной задаче трех тел всочетании с численным методом интегрирования Булирша-Штера. Уравнения движения частицы сбесконечно малой массой в ограниченной задаче трех тел в двумерном случае имеютвид 5.1 есть эффективныйпотенциал, и расстояния частицы отпланет и есть эксцентриситет орбиты планеты, истинная аномалияпланет, и отношение масс. Независимая переменная, и расстояния сведены к непостоянному простому разложениюна части.
Наиболее массивную планету обозначим через, и меньшую планету через. Истинную аномалию выберем как независимую переменную вместовремени, т.к. результирующее уравнение 5.1 регуляризированное.
В круговом случае, существует интеграл движения 5.2 Сущность этой частной динамическойзадачи требует высокой точности, особенно при длительном интегрировании, которое происходит при изучении спутниковой картины, предполагая, что будетпотребляться большое количество машинного времени.
Задача состоит в том, чтоочень маленькие ошибки могут сильно увеличиться в процессе вычислений и вскоререзультат станет бессмысленным. В этой статье рассматриваетсячисленные методы и необходимые условия. Первое, что рассматривается, эточастный метод которым интегрируют уравнения, показано, что он является оченьважным. Затем, пользуются константой Якоби, чтобы откорректировать численныеошибки усечения и округления в круговой ограниченной задаче.
Этот метод можноприменить к любой задаче, в которой существуют константы движения. Эффектыразличных методов и техники сравниваются, используя орбиты в круговой и эллиптическойограниченных задачах трех тел 5.2 Оценкаметода при использовании различных интеграторов 5.2.1