Закон всемирного тяготения для точечных масс:
Напряженность гравитационного поля или ускорение силы тяжести, создаваемое точечной массой , равно
.
Гравитационное поле является центральным. Для него справедлив принцип суперпозиции.
Как и для электростатического поля, для гравитационного поля легко доказывается интегральная теорема Гаусса
.
Отсюда немедленно следует, что если распределение масс центрально симметричного, то величина ускорения силы тяжести в данной точке определяется только массой шара, на поверхности которого находится эта точка. Применительно к бесконечной сферически однородной и изотропной Вселенной это приводит к так называемому гравитационному парадоксу: ускорение силы тяжести в данной точке зависит от выбора начала системы отсчета.
Первое дифференциальное уравнение для гравитационного поля получается из интегральной теоремы Гаусса-Остроградского
,
где – плотность, – объем внутри . Отсюда
.
Второе дифференциальное уравнение – это дифференциальное условие потенциальности гравитационного поля:
.
Непосредственным вычислением (проще всего в сферических координатах) можно показать, что ротация любого центрального поля равна нулю.
Поскольку по вычислению, то можно ввести гравитационный (ньютоновский) потенциал, такой, что
.
Для материальной точки массы M (а также для сферически симметричного тела)
.
Для объемного тела
.
Поскольку , то гравитационный потенциал в области, где , удовлетворяет уравнению Пуассона
,
а в области, где , уравнению Лапласа
.
Вне Земли и на ее поверхности гравитационный (ньтоновский) потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, которое в сферических координатах имеет вид:
.
Фундаментальным внешним решением этого уравнения является сферический гармонический ряд
где – сферические функции порядка степени ; – константы, определяемые из граничных условий; – присоединенные функции Лежандра.
Это система ортонормированных функций, т.е.
– нормировочный множитель.
На поверхности сферы сферические функции имеют знакочередующиеся минимумы и максимумы (см. рис.), области которых определяются пересечением широтных линий и меридиональных линий.
– |
– |
– |
+ |
– |
– |
– |
– |
– |
– |
– |
+ |
+ |
– |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
Целесообразно в разложении потенциала выделить первый член ( ), вынести его за скобки и нормировать на экваториальный радиус Земли :
.
Введем также новые постоянные
.
В силу того, что для любых , то . Окончательно
.
Элементы гравитационного потенциала Земли вычисляют из анализа изменений элементов орбит искусственных спутников. Если бы спутники летали в поле силы тяжести материальной точки, то их движение было бы чисто кеплеровым (стационарная эллиптическая орбита). Однако элементы их орбит (эксцентриситет, наклонение, положение узлов и т.д.) изменяются с течением времени, и по этим изменениям можно вычислить коэффициенты и . Вот их значения (в единицах ):
и т.д.
Видно, что гравитационный потенциал Земли определяется в основном двумя членами: потенциалом материальной точки и зональной гармоникой 2-го порядка
,
которая обусловлена полюсным сжатием Земли.