АТОМ ВО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Рассмотрим водородоподобный атом во внешнем поле. На самом деле результаты, получаемые ниже, справедливы для произвольного атома, если сделать замены l®L, s®S, j®J, где большими буквами обозначены соответствующие моменты атома в целом, которые складываются из моментов отдельных электронов.
Как мы видели, гамильтониан электрона во внешнем электромагнитном поле с потенциалами А0 и А задается в нерелятивистском приближении выражением
+е
- 
sH.
Повозимся немножко с первым членом:
.
Чтобы снять знак вопроса, вычисляем коммутатор
,
т.е.
.
Таким образом, для коммутативности 
необходимо и достаточно
divA= 0.
Но в стационарном случае именно так и записывается дополнительное условие Лоренца, накладываемое на потенциалы, которое считаем выполненным (в противном случае можно совершить подходящее калибровочное преобразование). Это - электродинамика! Итак, можно записать
,
где мы пренебрегли квадратичным по А2 членом, считая магнитное поле Н достаточно слабым (при реальных полях это пренебрежение всегда оправдано).
Пусть теперь поле Н - однородное, что также всегда оправдано, ибо нас интересует его изменение на атомных размерах, а здесь, конечно, никакого изменения нет. Для однородного поля можно положить
=1/2[H´r],
в чем можно убедиться тривиально, вычисляя rot A , который будет как раз Н. Элементарно проверяется и равенство div A = 0 для этого А. Поэтому в данном случае
.
Учитываем тождество, несомненно справедливое при Н=const:
.
После подстановки в гамильтониан найдем
,
где введены магнитные моменты - спиновый ms и орбитальный ml
.
И все-таки для дальнейшего их удобно вновь выразить через механические моменты. Окончательно для гамильтониана водородоподобного атома в достаточно слабом и однородном магнитном поле получаем:
.
Рассматриваем 
как невозмущенный гамильтониан, а 
как малое возмущение. Считаем поле направленным вдоль оси z и достаточно слабым:
1. можно пренебречь квадратичным членом (что уже сделали );
2. зеемановское расщепление много меньше тонкого расщепления.
Даже в отсутствие Н векторы Lи S не сохраняются, а потому стационарным состояниям нельзя сопоставить квантовые числа l, ml, s, ms. Но без поля есть центральная симметрия, и J сохраняется. Поэтому стационарные состояния характеризуем четверкой чисел
l, s, j, mj º m.
Все направления равноправны, а потому в нулевом приближении каждый уровень с заданными l, s, j вырожден по m, причем с кратностью 2j+1 . При включении магнитного поля выделяется направление z (H),и каждый уровень расщепляется на 2j+1 подуровней.
Чтобы упростить теорию возмущений, т.е. формально как бы не учитывать вырождение, будем характеризовать и невозмущенные состояния теми же квантовыми числами - это отвечает правильному выбору нулевых волновых функций. Тогда в первом порядке величины расщепления есть
,
где усреднение проводится по невозмущенным состояниям с определенными значениями l, j, s, но главное - m, от которых и зависит величина расщепления.
Среднее значение 
в родном состоянии есть
áJzñ = m, (
выделено в )
и задача свелась к вычислению среднего от 
. Для этого заметим, что в отсутствие поля сохраняется только вектор J и ничего более, а потому только он задает выделенное направление, а потому только вдоль него и может быть направлен вектор áSñ:
áSñ = gJ.
Для отыскания g умножаем на постоянный вектор J:
JáSñ = áJSñ = gJ2 = g
= gj(j+1),
откуда
g = 
,
и
áSzñ = gáJzñ = gm = 
áJSñ.
Чтобы найти áJSñ, возьмем равенство 
, возведем его в квадрат и получим
.
Средние от операторов в их родных состояниях равны просто собственным значениям, и потому получаем
áJSñ = 1/2{j(j +1) - l(l +1) - s(s + 1)},
откуда
áSzñ = 
{j(j + 1) - l(l + 1) - s(s + 1)}.
Подставляя найденные значения áSzñ и áJzñ в DЕ, найдем
DЕ lsjm = -
{m +[j(j +1) - l(l + 1) - s(s + 1)]},
или, окончательно
DЕ nlsj;m = -gm,
где величина
называется фактором Ланде. В частности, при s=0 (для электрона и водорода это не бывает, но для других атомов сколько угодно) g=1, и
DЕ m = Hm º mBHm.
Как это все сказывается на спектральных линиях? Обозначим частоту перехода между какими-то нерасщепленными в отсутствие поля уровнями Е1(0) и Е2(0) через w0 . При наличии поля получим
(w0 + Dw) = (E1(0) + DE1) - (E2(0) + DЕ2).
Принимая во внимание, что
Е1(0) - Е2(0) = w0 ,
найдем
Dw = 
(g1m1 - g2m2).
Таким образом, вместо одной линии получится несколько - в зависимости от значений факторов Ланде (при перечислении всех частот нужно использовать правила отбора Dm=0,±1, которые будут доказаны потом). В частности, если спина нет, то, учитывая правила отбора по m , сразу получим
Dw = 
Dm = (0,±1),
т.е. исходная линия с частотой w0 расщепится на три с частотами
w1= w0-, w2 = w0, w3 = w0+
Это есть нормальный эффект Зеемана, объясненный Лоренцом еще в рамках классической физики.
Но на самом-то деле нормальным является общий эффект Зеемана, который по историческим причинам называется аномальным - расщепление на большее число линий и с другими интервалами. Он поставил в тупик всех физиков в 20-е г.г., когда начала создаваться квантовая механика. У Паули тогда кто-то спросил, почему он такой грустный и растерянный. «Но каким может быть человек, думающий об аномальном эффекте Зеемана?» Все прояснилось после гипотезы Паули об «удвоении» числа состояний электрона, а окончательно - после введения спина.
Рассмотрение проводилось в предположении слабости поля. Что это такое? Мы говорили, что величина зеемановского расщепления должна быть много меньше расстояния между соседними уровнями тонкой структуры, а это значит
.
Для водорода минимальное расстояние между уровнями тонкой структуры составляет величину порядка 10-17 эрг. Учитывая, что магнетон Бора по порядку величины есть 10-20 эрг, получим, что все будет хорошо при полях Н< 1000 Эрстед.
А что дальше? Если DЕ велико по сравнению с тонким расщеплением, то говорят о сильном магнитном поле. В нем разрывается связь спина и орбитального моментов, и они взаимодействуют с магнитным полем независимо, причем сохраняются. Тогда правильными волновыми функциями нулевого приближения будут функции с квантовыми числами 
. Величина расщепления в этих состояниях
вычисляется сразу, так как состояния - родные для 
:
.
Так как действует еще правило отбора Dms = 0, то в спектре мы увидим вновь три линии, т.е. в сильных полях аномальный эффект Зеемана всегда превращается в нормальный. Это называется эффект Пашена-Бака. Из формулы для DЕ видно, что каждый уровень Еnl(0) расщепляется на 2
+3 равноотстоящих компонентов, отвечающих 2+3 возможным значениям суммы 
. Поскольку ms=±1/2, то при данном значениями будут +1, , -1,...,-(
+1). Из этих компонентов два высших и два низших не вырождены, а остальные двукратно вырождены в соответствии с двумя возможными способами получения одного :
= 
.