Работа в электростатическом поле по переносу заряда. Потенциал электростатического поля
Потенциал электростатического поля.
План лекции.
Работа в электростатическом поле по переносу заряда. Потенциал электростатического поля.
Циркуляция напряженности по замкнутому контуру.
Связь между напряжением и потенциалом.
Понятие электростатического потенциала связано с работой переноса заряда из одной точки в другую.
Пусть распределение зарядов создает электрическое поле. Заряды удерживаются на своих местах силами притяжения и отталкивания. Любая наша попытка перенести заряд из одной точки в другую будет связана с работой, производимой против действия электрических сил.
2. Работа будет равна минус компоненте электрической силы в направлении движения, проинтегрированной по этому пути:
Модуль приращения
вдоль
:
элемент перемещения заряда;
путь;
заряд, создающий электрическое поле;
переносимый электрический заряд;
электрическая сила, действующая на заряд в точке;
дифференциал вектора перемещения вдоль траектории.
Если рассматривать перенос единичного заряда, то:
вектор перемещения;
вектор напряженности электрического поля.
3. Пусть поле создается единичным положительным зарядом
:
Возьмем пробный заряд, также единичный и перенесем от a к b:
На участке a-a’ работа не производится, так как угол между векторами
и
составляет
; на участке a’-b она меняется как
:
приращение модуля вектора перемещения.
Выберем другой путь.
Каждый раз, когда путь идет по дуге, работа не совершается.
Каждый раз когда работа идет по радиусу, интегрируется.
Сначала отдо, отдо…. Сумма всех таких интегралов как раз равна одному интегралу в пределах отдо.
Ясно, что и для любого пути от a до b получится тот же результат. В случае плавных траекторий их можно разбить на небольшие участки, аналогичные указанным.
4. Работа в электростатическом поле зависит только от концов пути, то её можно представить в виде разности двух чисел:
скалярная функция от координат поля. Поле этой функции – скалярное поле. Эта функция называется электростатический потенциал поля в произвольной точке.
В качестве отправной точки
берут на бесконечности, тогда:
Электрическое поле нескольких зарядов создает суммарное поле, и потенциал в этом поле будет подчиняться принципу суперпозиции:
Физический смысл потенциала – это потенциальная энергия, которую имел бы единичный положительный заряд, если его перенести в указанную точку пространства из отправной точки (бесконечность).
Заряд, находящийся в электростатическом поле, обладает потенциальной энергией:
Рассматриваем из бесконечности – начальная точка берется:
5. По замкнутому контуру (сил поля):
циркуляция векторапо замкнутому контуру.
условие потенциальности поля.
В дифференциальной форме:
Работа совершается за счет убыли потенциальной энергии:
6. Связь между напряженностью и потенциалом.
Напряженностьесть силовая характеристика поля. Зная, можно определить силы, действующие на заряд. Саму же напряженность можно легко получить из потенциала:
Движение по X:
Движение по Y:
Движение по Z:
Это операция градиент – это вектор, направленный в сторону быстрейшего возрастания функции:
Комбинацияназывается ротором или вихрем векторного поля.
Это второе уравнение электростатики.