С помощью принципа Даламбера-Лагранжа

Общее уравнение динамики системы есть математическое выра­жение принципа Даламбера-Лагранжа

. (4.1)

Здесь - сумма элементарных работ всех активных сил на возможном перемещении системы;

- сумма элементарных работ всех сил инерции на возможном перемещении системы.

 

Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис.4).

Рис. 4. Расчетная схема

Идеальные связи не учитывают и не отображают на расчетной схеме, поскольку по определению работа их реакций ва любом возможном перемещении системы равна нулю. Пружина является неидеальной связью. Введем реакцию этой связи в число активных сил.

Сообщим системе возможное перемещение. Возможная работа активных сил определяется как сумма следующих элементарных работ:

(4.2)

Вычисляя последовательно элементарные работы активных сил и суммируя их, получаем после несложных преобразований

 

(4.3)

 

Аналогичное выражение для приведенной силы F_пр получено ранее [см. (1.18)].

 

Найдем возможную работу сил инерции:

(4.4)

Для величин главных векторов и главных моментов сил инерции имеем следующие выражения:

 

Ф₄=m₄ (4.5)

 

Используя кинематические соотношения (1.7), можно записать

 

(4.6)

 

Тогда возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду

 

, (4.7)

где m_пр=, (4.8)

Аналогичное выражение для приведенной массы системы было получено ранее [см.(1.10)]. Подставляя выражения (4.3) и (4.8) в общее уравнение динамики (4.1), получаем

(4.9)

Поделив (3.10) на , получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:

, (4.10)

 

где

(4.11)

Дифференциальное уравнение (4.10) полностью совпадает с полученным ранее уравнением (1.20).