рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

III.2.2. Принцип суперпозиции электрических полей

III.2.2. Принцип суперпозиции электрических полей - раздел Энергетика, Электростатикое взаимодействие. Электростатикие заряды и их свойства. 1°. Основная Задача Электростатики Формулируется Следующим Образом: По Заданн...

1°. Основная задача электростатики формулируется следующим образом: по заданным распределению в пространстве и величине источников поля – электрических зарядов – найти величину и направление вектора напряженности Е в каждой точке поля.

2°. Если поле создается системой неподвижных зарядов q1, q2, q3, ..., qn, то результирующая сила F, с которой электрическое поле действует на пробный заряд q0 (III.2.1.2°) в любой точке рассматриваемого поля, равна векторной сумме сил Fi, приложенных к заряду q0 со стороны каждого из зарядов qi: .

Согласно III.2.1.3° F = q0E и Fi = q0Ei, где Е – напряженность результирующего поля, Ei – напряженность поля, создаваемого зарядом qi. Из предыдущих формул следует принцип независимости действия электрических полей или принцип суперпозиции полей: .

Напряженность электрического поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. Напряженность результирующего поля находится наложением (суперпозицией) напряженностей полей отдельных зарядов. Для непрерывно распределенных в пространстве зарядов (п. 3°) принцип суперпозиции полей имеет вид: , где интегрирование производится по всем непрерывно распределенным источникам полей, создающим электрические поля с напряженностью dE.

Пример. Система неподвижных точечных зарядов q1, q2, ..., qn создает электростатическое поле, напряженность E которого равна

(в СИ),где ri – радиус-вектор, проведенный от точечного заряда qi в исследуемую точку поля. Любое заряженное тело с дискретно распределенным на нем зарядом Q можно разбить на весьма малые части, каждая из которых имеет точечный заряд. Поэтому предыдущая формула имеет общее значение для расчета электростатических полей в однородной, изотропной среде, заполняющей все поле.

 

3. Эл-е. поле диполя.

1. Электрическим диполем называется система, состоящая из двух точечн эл зарядов q>0 и - q, расстояние l между которыми мало по сравнению с расст-ем r от этой системы до рассматриваемых точек ее поля. Такая модель неплохо описывает электрич св-ва атомов и молекул, а также влияние на них внешн электрич поля. Поэтому в физике широко пользуются представлением атомов и молекул в виде электрических диполей.

 

Рис. 13.5

Плечом диполя называется вектор I, направл-ый по оси диполя от отриц заряда к положит и по модулю равный расстоянию между ними (рис. 13.5). Произведение положительного заряда q диполя на плечо I называется электрическим моментом диполя pe : pe = qI. (13.28) Вектор ре совпадает по направлению с плечом диполя.

2. В соответствии с принципом суперпозиц полей напряже-ть в произв точке поля диполя Е = Е+ + Е-, где Е+ и Е- -напряженности полей зарядов q и –q в рассматрив точке. Если точка А расположена на оси диполя (рис. 13.5), то векторы Е+ и Е-, направлены также вдоль этой оси, но только во взаимно противоположн стороны. По формуле (13.9)

, где r1 и r2 — радиусы-векторы, проведенные в точку А из точечных зарядов q и -q, причем r1=r-l/2 r2=r+l/2. Векторы r1 и r2 совпадают по направлению с вектором I, поэтому:

 

 

Потенциал поля в точке А равен сумме потенциалов полей точечных зарядов q и –q:

 

 

Так как для поля диполя l2<<r2 и qI=ре, то напряженность и потенциал поля в точке А на оси диполя равны:(13.29)

3. Рассмотрим теперь точку В поля, которая находится на перпендикуляре, восстанов­ленном к оси диполя из его середины О (рис. 13.6). В этой точке

 

причем вектор Е=Е+- параллелен электрич моменту ре диполя и направлен в противоположн сторону. Следовательно- напряжен-ть поля диполя в точке B(r2>>l2)(13.30)

Точка В равноудалена от зарядов q и -q диполя, поэтому потенциал поля в точке В равен нулю:

(13.30')

4. Расчет поля диполя в произв точке С с полярными координ r и α удобнее всего произвести так. Опустим на прямую NC, соединяющую заряд -q диполя с точкой С, перпендикуляр МК, проведенный из точки М, где находится заряд q диполя. Поместим в точку К два точечных заряда q и -q, которые полностью нейтрализуют друг друга и не искажают поля диполя. Четыре заряда, находящиеся в точках М, N и К, можно рассматривать как два диполя (NK и МК). Ввиду малости расстояния / по сравнению с r угол CNM= α. Поэтому модули электрических моментов первого и второго диполей соответственно равны(13.31)Для первого диполя точка С лежит на его оси, а для второго — на перпендикуляре восстановленном в средней точке оси. По формулам (13.29) и (13.30), напряженности E1 и Е2 полей каждого из диполей в точке С равны

(13.32)Векторы ре1 и ре2 соответственно E1и Е2, взаимно перпендикулярны, поэтому модуль напряженности поля диполя MN в точке С Подставив сюда значения ре1 и ре2 из (13.31), получим (13.33)Потенциал поля диполя в точке С равен сумме потенциалов в этой точке для полей двух диполей (NK и МК): φ=φ12 где φ1 и φ2 находятся по формулам (13.29) и (13.30`). Таким образом,

(13.34) 5. Из предыд видно, что расчет потенц-ла поля диполя (13.34) производ-ся с помощ принципа суперпозиц полей значительн проще, чем расчет напряж-ти того же поля (13.33). Это связано с тем, что потенциалы складыв-ся алгебра­ич-ки, а напряженности – геометрич-ки. Однако, зная выражение (13.34) для потен­циала φ, можно найти напряженть поля диполя, пользуясь взаимосвязью между потенциалом и напряж-тью электростатич поля. Из (13.27) следует, что проекции Ег и Еа вектора Е напряжен. поля диполя на полярный радиус-вектор r и на вектор, провед-ый в рассмат-ой точке поля перпендикулярно г в сторонувозрастанияполярного угла α, равны для справедлива формула13.33

4. Поток напряженности эл. поля. Т. Гаусса для эл. поля в вакууме.

Выделим в однородном электрическом поле плоскую поверхность (рис. 2.1.). Эта поверхность — вектор, численно равный площади поверхности DS и направленный перпендикулярно поверхности

(2.1)

 

Рис. 2.1. Рис. 2.2.

Но единичный нормальный вектор может быть направлен как в одну, так и в другую сторону от поверхности (рис. 2.2.). Произвольно выберем положительное направление нормали так, как это показано на рис. 2.1. По определению потоком вектора напряжённости электрического поля через выделенную поверхность называется скалярное произведение этих двух векторов:(2.2).

Если поле в общем случае неоднородно, а поверхность S, через которую следует вычислить поток, не плоская, то эту поверхность делят на элементарные участки , в пределах которых напряжённость можно считать неизменённой, а сами участки — плоскими (рис. 2.3.) Поток вектора напряжённости через такой элементарный участок вычисляется по определению потока (2.3)

Здесь En = E ∙ cosa — проекция вектора напряжённости на направление нормали . Полный поток через всю поверхность S найдём, проинтегрировав (2.3) по всей поверхности Рис. 2.3.

(2.4)

Теперь представим себе замкнутую поверхность в электрическом поле. Для отыскания потока вектора напряжённости через подобную поверхность проделаем следующие операции (рис. 2.4.):

1. Разделим поверхность на участки . Важно отметить при этом, что в случае замкнутой поверхности положительной считается только «внешняя» нормаль .

2. Вычислим поток на каждом элементарном участке :

Обратите внимание на то, что вектор «вытекающий» из замкнутой поверхности создаёт положительный поток, а «втекающий» — отрицательный.

3. Для вычисления полного потока вектора напряжённости через всю замкнутую поверхность, все эти потоки нужно алгебраически сложить, то есть уравнение (2.3) проинтегрировать по замкнутой поверхности S

(2.5)

Кружок на знаке интеграл означает, что интегрирование производится по замкнутой поверхности.

Напомним, что при графическом изображении полей, густота силовых линий в произвольной точке поля числено равна значению напряжённости поля в этой точке. Это означает, что .

Тогда число силовых линий, пронизывающих поверхность dS, можно записать так: dN = En ∙ dS = E ∙ dS ∙ cosa

Но ведь это определение потока вектора напряжённости через поверхность dS.

Таким образом, поток вектора напряжённости через поверхность dS численно равен числу силовых линий, пронизывающих эту поверхность (!).

Этот вывод справедлив и для потока электрического поля через замкнутую поверхность: этот поток будет равен алгебраической сумме силовых линий втекающих (–) и вытекающих (+) из замкнутой поверхности.

4°. Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность пропорционален алгебраический сумме электрических зарядов, охватываемых этой поверхностью:

5°. Наряду с принципом суперпозиции полей (III.2.2.1°) теорема Остроградского-Гаусса применяется для вычисления векторов D различных электрических полей. При этом необходимо так выбрать замкнутую поверхность, чтобы в выражении потока смещения можно было вынести D за знак поверхностного интеграла. Для полей, созданных простейшими симметрично расположенными зарядами (заряженные линия, плоскость, сфера и т. д.), это можно сделать.

5. Применение Т. Гаусса. электростат. Поле бескон. зар-ной нити. бескон. зар-ной плоскости, сфер. поверхности.

Рассмотрим бесконечную нить, несущую заряд, равномерно распределённый по её длине. Заряд, сосредоточенный на бесконечно нити, конечно, тоже бесконечен, и поэтому он не может служить количественной характеристикой степени заряженности нити. В качестве такой характеристики принимается «линейная плотность заряда». Эта величина равна заряду, распределённому на отрезке нити единичной длины:.

Выясним, какова напряженность поля, создаваемого заряженной нитью на расстоянии а от неё (рис. 1.12).

Рис. 1.12.

Для вычисления напряжённости вновь воспользуемся принципом суперпозиции электрических полей и законом Кулона. Выберем на нити элементарный участок dl. На этом участке сосредоточен заряд dq = tdl, который можно считать точечным. В точке А такой заряд создаёт поле (см. 1.3)

Исходя из симметрии задачи, можно заключить, что искомый вектор напряжённости поля будет направлен по линии, перпендикулярной нити, то есть вдоль оси х. Поэтому сложение векторов напряжённости, можно заменить сложением их проекцией на это направление.

(1.7)

Рис. (1.12 b) позволяет сделать следующие заключения: (1.8)

Таким образом.(1.9)

Используя (1.8) и (1.9) в уравнении (1.7), получим(1.10)

Теперь для решения задачи осталось проинтегрировать (1.10) по всей длине нити. Это означает, что угол a будет меняться от до .

(1.11)

В этой задаче поле обладает цилиндрической симметрией. Напряжённость поля прямо пропорциональна линейной плотности заряда на нити t и обратно пропорциональна расстоянию а от нити до той точки, где измеряется напряжённость.

Пример 1. Поле заряда q, равномер­но распределенного по поверхности сфе­ры Рис. 14.4

 
 

радиуса R с поверхностной плотно­стью б= q/(4ПR2). Система зарядов и, следовательно, само поле центрально-симметричны от­носительно центра О сферы. Вектор напряженности поля имеет только радиальную составляющую: E=Err/r, где r - радиус-вектор, проведенный из центра О сферы в рассматриваемую точку поля; Еr - проекция вектора Е на радиус-вектор r, одинаковая во всех точках, равноудаленных от центра О. Поэтому за гауссову поверхность S следует взять сферу радиуса r с центром в точке О. Тогда (14.10)

 
 

Если r>=R, то <qохв = q и, по теореме Остроградского-Гаусса (14.9),

Если r<R, то qохв=0 и Er = 0, т. е. внутри заряженной сферы поля нет. Потенциал поля φ найдем из формулы (13.27) связи между потенциалом и напряженностью поля: Er= -dφ /dr. Полагая lim φ = 0, получаем, что потенциал поля вне сферы равен

Из (14.10) и (14.10') видно, что вне заряженной сферы радиуса R поле такое же, как поле точечного заряда q, находящегося в центре сферы. Внутри заряженной сферы поля нет, так что потенциал всюду одинаков и такой же, как на ее поверхности:

(14.10")

График зависимостей Еr и φ от r для случая, когда б>0, показаны на рис. 14.4.

6. Циркуляция электростатического. поля.

На положительный точечный заряд q в электрическом поле с напряжённостью E действ сила
F = q E. При перемещении заряда на отрезке dl силами поля совершается работа

dA = F dl = q E dl cos (E, dl).

При перемещении заряда q силами электрического поля на произвольном конечном отрезке из точки 1 в точку 2 эта работа равна

.

Рассмот перемещение точечного заряда q в поле точечного заряда Q, напряженность поля которого

.Проекция отрезка dl на направление вектора E (рис. 1.5) есть dr = dl cos (E, dl).Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2, определяется следующим образом:

Отсюда следует, что работа сил электрического поля не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положениями заряда q. Если оба заряда, q и Q, положительны, то работа сил поля положительна при удалении зарядов и отрицательна при их взаимном сближении.

Для электрического поля, созданного системой зарядов Q1, Q2,¼, Qn, работа перемещения заряда q равна алгебраической сумме работ составляющих сил:

.Таким же образом, как и каждая из составляющих работ, суммарная работа зависит только от начального и конечного положений заряда q.Циркуляция вектора напряженности электрического поля. Работа, совершаемая силами электрического поля при перемещении единичногоположительного заряда по замкнутому контуру длиной l, определяется как циркуляция вектора напряженности электрического поля:Так как для замкнутого пути положения начальной и конечной точек перемещения заряда совпадают, то работа сил электрического поля на замкнутом пути равна нулю, а значит, равна нулю и циркуляция векторанапряженности, т.е. .Равенство нулю означает, что силы электрического поля являются силамиконсервативными, а само поле - потенциальным.

7. Потенциал Эл поля. Связь напряженности и потенциала Эл поля.

1º. Работа δA (III.3.1.1) равна убыли dWп потенциальной энергии (I.3.3.1°) заряда q', перемещающегося в электростатическом поле,и , где W1пиW2п–значения потенциальной энергии заряда q' в точках поля а и b (рис. III.3.1).

2°. Если точечный заряд q' перемещается под действием поля точечного заряда q, то изменение dWп его потенциальной энергии при бесконечно малом перемещении: При конечном перемещении заряда q' из точки а в точку b (рис. III.3.1) изменение ΔWп потенциальной энергии заряда будет равно:

(в СИ),

3°. При перемещении заряда q' в поле, созданном системой n точечных зарядов (q1, q2, ..., qn), изменение потенциальной энергии заряда q''

(в СИ),

где ri1 и ri2 – расстояния между зарядами qi и q' до и после перемещения последнего.

4°. Для нахождения абсолютного значения потенциальной энергии, которую имеет электрический заряд в данной точке электростатического поля, необходимо выбрать начало отсчета потенциальной энергии (I.1.3.1°). Интегрирование уравнения п. 2° в общем случае дает:

,

где С – произвольная постоянная. Если считать, что Wп = 0 при r → ∞, то С = 0 и потенциальная энергия заряда q', находящегося в поле заряда q на расстоянии r от него, равна

(в СИ),

При одноимен зарядах q и q' потенциальная энергия их взаимод-ия (отталкивания) положительна и возраст (убыв) при сближен (отдален) зарядов. В случае взаимн притяж-я разноимен зарядов Wп < 0 и возрастает до нуля при удалении одного из зарядов в бесконеч-ть. На рис. III.3.2 показана зависимость потенциальной энергии двух точечных зарядов от расстояния между ними.

5°. Потенциальная энергия Wп заряда q', который находится в поле системы точечных зарядов q1, q2, ..., qn, равна сумме его потенциальных энергий в полях, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

(в СИ),где ri – расстояние между зарядами qi и q.

6°. Потенциалом электростатического поля называется энергетическая характеристика этого поля, представляющая собой отношение потенциальной энергии Wп заряда q' к величине заряда (в СИ). Это отношение не зависит от величины заряда q' и численно равно потенциальной энергии единичного пробного заряда (III.2.1.2°), помещенного в рассматриваемую точку поля. Примеры:

1) Потенциал электростатического поля, создаваемого одним точечным зарядом q в однородном и изотропном диэлектрике,(в СИ),

3) Потенциал уединенного проводящего шара радиуса R, имеющего заряд q, (в СИ)

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Электростатикое взаимодействие. Электростатикие заряды и их свойства.

Электростатикой наз ся раздел учения об элект ве в кот изуч ся взаимод я и свойства систем эл зарядов неподвижных относит выбранной... Сущ два рода эл зарядов положит и отрицат Разноименно заряженные тела... Эл заряд любой системы тел состоит из целого числа элементар зарядов равных Кл Наименьшей по массе...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: III.2.2. Принцип суперпозиции электрических полей

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

III.1.2. Закон Кулона
1°. Опытным путем Кулон установил, что сила взаимодействия F12 между двумя небольшими заряженными шариками, заряды которых равны, соответственно, q1 и q2, прямо пропорциональна произведению q1q2 и

Связь между потенциалом и напряженностью электростатического поля
1°. Элементарная работа δA, совершаемая при бесконечно малом перемещении заряда q' в электростатическом поле, на основании формул в III.3.2.1° и III.3.2.6°:

III.5.1. Дипольные моменты молекул диэлектрика
1º. Вещества, которые не проводят электрического тока, называются диэлектриками. При не слишком высоких температурах и в условиях, когда диэлектрики не подвержены действию очень сильных электр

Объемная плотность энергии электростатического поля
Это физическая величина, численно равная отношению потенциальной энергии поля, заключенной в элементе объема, к этому объему. Для однородного поля объемная плотность энергии равна

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги