Применение метода Гаусса для решения линейных уравнений узловых напряжений

 

Система линейных уравнений узловых напряжений

,

в частном случае для трех независимых узлов, приобретает следующий вид, если записать ее в матричной форме

или в виде системы уравнений

.

Если перенести базисные напряжения и их сомножители направо и обозначить правые части каждого уравнения как I_i

 

.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений предполагает два этапа: прямой ход, в процессе которого матрица коэффициентов приводится к верхнетреугольной форме, и обратный ход, в ходе которого находятся искомые параметры (в данном случае узловые напряжения).

1) прямой ход для данного примера системы третьего порядка включает следующие под-этапы:

1.1) преобразование первой строки по формулам

В результате этого преобразования элемент на пересечении первой строки и главной диагонали становится равным единице

.

1.2) преобразование остальных строк (в данном примере второй и третьей) по формулам

,

в результате которого первые элементы этих строк обнуляются

.

1.3) преобразование второй строки

.

 

1.4) преобразование остальных строк (в данном случае третьей)

.

 

1.5) преобразование третьей строки:

.

На этом прямой ход метода Гаусса для данного примера завершается, поскольку матрица коэффициентов приведена к верхнетреугольной форме

,

а система уравнений приобретает вид

.

 

2) обратный ход

После выполненных преобразований, обратный ход метода Гаусса позволяет легко найти искомые параметры. Для данного примера обратный ход имеет следующий вид:

,

,

.

В общем случае (для системы n-го порядка с n неизвестных) алгоритм метода Гаусса предполагает выполнение нескольких вложенных друг в друга циклов:

 

1. Прямой ход

 

;

 

2. Обратный ход

.

 

При использовании метода Гаусса число операций соотносится с числом неизвестных как N ~ n³.

Достоинства метода Гаусса:

гарантия получения точного решения в результате выполнения определенного количества операций, зависящих только от n, в отличие от итерационных методов, где количество операций зависит не только от n, но и от непрогнозируемого количества шагов, за который итерационный процесс сойдется.

Недостатки метода:

необходимость многократного пересчета матрицы коэффициентов системы уравнений, вследствие которой для сложной энергосистемы с большим количеством узлов, эффективное использование метода Гаусса невозможно без специальных методов учета слабой заполненности матрицы узловых проводимостей. Но такой учет алгоритмически сложен.