Линейных уравнений узловых напряжений

Непосредственное определение матрицы узловых напряжений возможно на основании записи узловых уравнений в форме, требующей определения обратной матрицы

.

 

Число арифметических операций N при обращении матрицы связано с числом независимых узлов n следующими соотношениями

N ~ n!;

.

Для сложной энергосистемы с большим количеством независимых узлов обращение матрицы высокого порядка может быть затруднено.

Рассмотрим применение итерационных методов на примере решения узловых уравнений. Итерационные методы имеют широкое распространение, так как они соответствуют специфике ЭВМ, т.е. решение задачи, как результат последнего приближения к нему после выполнения ряда однотипных вычислений.

Пусть электрическая сеть состоит из 4-х узлов (1 базисный и 3 независимых). Система уравнений узловых напряжений

для данногослучая может быть записана в матричной форме

или в виде системы уравнений

.

Исходными данными при использовании итерационных методов является произвольно заданные искомые величины, однако при произвольном задании узловых напряжений , , любое из уравнений системы нуждается в поправке.

,

где – вектор небалансов токов, возникающих вследствие того, что узловые напряжения заданы произвольно.

Для восстановления равенства каждое из уравнений системы нуждается в поправках

.

 

Для данного примера поправки могут быть найдены из трех уравнений

,

а в общем случае из матричного уравнения

. (1.6)

Сумма столбцов поправок и исходных приближений дает новые приближения узловых напряжений, более близкие к решению, чем исходные приближения

, (1.7)

где – приближения узловых напряжений, найденные на 1-м итерационном шаге;

– начальные произвольные приближения узловых напряжений;

– поправки, найденные на 1-м итерационном шаге.

На этом первый итерационный шаг завершается.

Для общего случая (n независимых узлов) i-й шаг итерационного процесса (1.6), (1.7) имеет вид

.

Если при переходе от итерации к итерации матрица поправокуменьшается, следовательно, итерационный процесс сходится, и на некой k-ой итерации искомые узловые напряжения будут удовлетворять узловым уравнениям с заданной точностью.

Признак сходимости итерационного процесса

,

где – столбец малых заданных величин, характеризующих точность расчета.