Линейных уравнений узловых напряжений

Метод Зейделя является модификацией метода простой итерации, отличаясь более быстрой сходимостью итерационного процесса. Его основная идея заключается в том, что вычисленное i+1-е приближение k-1 узлового напряжения сразу (в той же k-й строке) используется для вычисления i+1-го приближения k-го узлового напряжения.

В случае метода Зейделя i-й итерационный шаг на примере системы с тремя искомыми параметрами

.

После определения i+1-х приближений узловых напряжений осуществляется проверка сходимости и затем, в зависимости от ее результатов, переход к следующей итерации () или вывод решения ().

Если по методу простой итерации i+1-е приближение k-го узлового напряжения в соответствии с (1.9) определяется по формуле

,

то по методу Зейделя

.

В общем случае (n искомых параметров) алгоритм метода простой итерации на языке программирования ЭВМ

begin

I = 0

for k = 1 to n do

U _ki = 0

repeat I = I + 1

for k = 1 to n do begin

U _ki = 0

for j = 1 to k – 1 do

U_ki = U_ki + b_kjU_ji

for j =k + 1 to n do

U_ki = U_ki + b_kjU_ji-1

U_ki = U_ki + b_k

end

till begin

for k = 1 to n do

abs(U_k,i – U_k,i-1)<

end

end.

 

Если разбить вышеприведенную матрицу на подматрицы и

,

которые в частном случае, для системы с тремя неизвестными записываются как

в общем случае i-й итерационный шаг метода Зейделя в матричной форме имеет следующий вид

.

Достоинства метода Зейделя:

1) простота алгоритма и быстрота сходимости;

2) если метод Зейделя сходится достаточно быстро, т.е. число шагов k итерационного пространства намного меньше числа независимых узлов , то число операций (намного меньше, чем в случае применения метода Гаусса), что приводит к экономии машинного времени.

3) метод Зейделя, как и любой итерационный метод, обладает свойством самоисправления, т.е. отдельные ошибки, допущенные в процессе расчета, не отражаются на конечном результате, поскольку результат ошибочного шага можно рассматривать, как новое начальное приближение.

Недостатки метода Зейделя:

1) неудовлетворительно медленная сходимость или расходимость в отдельных случаях, а именно: расчет режимов электрических сетей, содержащих устройства продольной компенсации или трехобмоточные трансформаторы, когда сопротивление обмотки среднего напряжения очень мало, а также при расчете предельных и неустойчивых режимов.