Метод Зейделя является модификацией метода простой итерации, отличаясь более быстрой сходимостью итерационного процесса. Его основная идея заключается в том, что вычисленное i+1-е приближение k-1 узлового напряжения сразу (в той же k-й строке) используется для вычисления i+1-го приближения k-го узлового напряжения.
В случае метода Зейделя i-й итерационный шаг на примере системы с тремя искомыми параметрами
.
После определения i+1-х приближений узловых напряжений осуществляется проверка сходимости и затем, в зависимости от ее результатов, переход к следующей итерации () или вывод решения ().
Если по методу простой итерации i+1-е приближение k-го узлового напряжения в соответствии с (1.9) определяется по формуле
,
то по методу Зейделя
.
В общем случае (n искомых параметров) алгоритм метода простой итерации на языке программирования ЭВМ
begin
I = 0
for k = 1 to n do
U ki = 0
repeat I = I + 1
for k = 1 to n do begin
U ki = 0
for j = 1 to k – 1 do
Uki = Uki + bkjUji
for j =k + 1 to n do
Uki = Uki + bkjUji-1
Uki = Uki + bk
end
till begin
for k = 1 to n do
abs(Uk,i – Uk,i-1)<
end
end.
Если разбить вышеприведенную матрицу на подматрицы и
,
которые в частном случае, для системы с тремя неизвестными записываются как
в общем случае i-й итерационный шаг метода Зейделя в матричной форме имеет следующий вид
.
Достоинства метода Зейделя:
1) простота алгоритма и быстрота сходимости;
2) если метод Зейделя сходится достаточно быстро, т.е. число шагов k итерационного пространства намного меньше числа независимых узлов , то число операций (намного меньше, чем в случае применения метода Гаусса), что приводит к экономии машинного времени.
3) метод Зейделя, как и любой итерационный метод, обладает свойством самоисправления, т.е. отдельные ошибки, допущенные в процессе расчета, не отражаются на конечном результате, поскольку результат ошибочного шага можно рассматривать, как новое начальное приближение.
Недостатки метода Зейделя:
1) неудовлетворительно медленная сходимость или расходимость в отдельных случаях, а именно: расчет режимов электрических сетей, содержащих устройства продольной компенсации или трехобмоточные трансформаторы, когда сопротивление обмотки среднего напряжения очень мало, а также при расчете предельных и неустойчивых режимов.