Метод контурных токов

Метод контурных токов, так же как и метод узловых напряжений, позволяет уменьшить число уравнений в системе, определяющие токи ветвей.

Метод контурных токов исключает из системы уравнений токи ветвей, входящих одновременно в два независимых контура, (для примера приведенного на рис. 1.11, токи ). Токи остальных ветвей называются контурными токами.

 

Рис. 1.11. Расчетная схема к методу контурных токов

 

Искомая матрица токов ветвей определяется как сумма: ,

где – матрица, определенная при условии отсутствия задающих токов;

– матрица, отражающая действие задающих токов.

Связь между контурными токами и токами остальных ветвей устанавливается через первый закон Кирхгофа, записанный для всех узлов, кроме балансирующего узла. Для рассматриваемого примера эта связь устанавливается соотношениями

 

.

В матричной форме связь между матрицей контурных токов и матрицей токов ветвей задается через трансформаторную матрицу соединения в контурах , что в частном случаем для рассматриваемого примера имеет вид

 

.

Учитывая влияние задающих токов, предположим, что они распределяются в остове графа, и в таком случае выражение

приобретает вид

,

откуда

, (1.10)

где – матрица искомых токов;

– слагаемое, отражающее действие задающих узловых токов.

Если найти контурные токи таким образом, чтобы они удовлетворяли не только первому, но и второму закону Кирхгофа, то такое токораспределение соответствовало бы действительности.

Второй закона Кирхгофа

и закон Ома

в совокупности дают уравнение

,

при подстановке в которое выведенного выражения для токов

получается выражение, включающее матрицу контурных сопротивлений

,

что позволяет записать контурное уравнение через матрицу контурных сопротивлений

.

Таким образом, матрица контурных токов

.

В частном случае, при уравнение существенно упрощается

,

или же

,

где – матрица контурных проводимостей.