Метод контурных токов, так же как и метод узловых напряжений, позволяет уменьшить число уравнений в системе, определяющие токи ветвей.
Метод контурных токов исключает из системы уравнений токи ветвей, входящих одновременно в два независимых контура, (для примера приведенного на рис. 1.11, токи ). Токи остальных ветвей называются контурными токами.
Рис. 1.11. Расчетная схема к методу контурных токов
Искомая матрица токов ветвей определяется как сумма: ,
где – матрица, определенная при условии отсутствия задающих токов;
– матрица, отражающая действие задающих токов.
Связь между контурными токами и токами остальных ветвей устанавливается через первый закон Кирхгофа, записанный для всех узлов, кроме балансирующего узла. Для рассматриваемого примера эта связь устанавливается соотношениями
.
В матричной форме связь между матрицей контурных токов и матрицей токов ветвей задается через трансформаторную матрицу соединения в контурах , что в частном случаем для рассматриваемого примера имеет вид
.
Учитывая влияние задающих токов, предположим, что они распределяются в остове графа, и в таком случае выражение
приобретает вид
,
откуда
, (1.10)
где – матрица искомых токов;
– слагаемое, отражающее действие задающих узловых токов.
Если найти контурные токи таким образом, чтобы они удовлетворяли не только первому, но и второму закону Кирхгофа, то такое токораспределение соответствовало бы действительности.
Второй закона Кирхгофа
и закон Ома
в совокупности дают уравнение
,
при подстановке в которое выведенного выражения для токов
получается выражение, включающее матрицу контурных сопротивлений
,
что позволяет записать контурное уравнение через матрицу контурных сопротивлений
.
Таким образом, матрица контурных токов
.
В частном случае, при уравнение существенно упрощается
,
или же
,
где – матрица контурных проводимостей.