Применение метода Ньютона для решения нелинейных уравнений узловых напряжений

Метод Ньютона применим для решения нелинейных уравнений установившегося режима.

Метод Ньютона является алгоритмической основой большинства современных программных продуктов: обладает быстротой сходимости и применим для решения широкого класса нелинейных уравнений.

Отличие линейной

и нелинейной систем уравнений узловых напряжений

заключается в наличии нелинейной зависимости правых частей уравнений от узловых напряжений.

Рис. 2.2. Энергосистема с одним нагрузочным узлом

 

Нелинейное уравнение узловых напряжений, записанное для простейшего примера линии, соединяющий нагрузочный и базисный узлы (рис. 2.2) имеет вид:

или же с учетом выведенной зависимости узловых токов от мнимых и действительных частей напряжения соответствующего узла и активной и реактивной мощностей, потребляемых нагрузкой в том же узле

;

нелинейное уравнение узловых напряжений приобретает вид

,

откуда выражение зависимости от напряжения для небаланса тока в узле как разность правой и левой частей узлового уравнения

.

Рис. 2.3. Графическая интерпретация небаланса

 

Зависимость небаланса от напряжения представлена на рис. 2.3.

Здесь – небаланс тока, возникающий вследствие подстановки в уравнение узловых напряжений произвольных начальных приближений ;

– произвольное начальное приближение узловых напряжений;

– точное решение уравнения узловых напряжений.

При подстановке произвольных начальных приближений искомых параметров небаланс отличен от нуля

,

по мере того, как от итерации к итерации приближения узловых напряжений будут приближаться к точному решению, небаланс стремится к нулю.

Основная идея метода Ньютона заключается в том, что на каждом итерационном шаге система нелинейных уравнений заменяется некой системой линейных уравнений таких, что их решение дает значение неизвестных более близкие к решению нелинейной системы, чем исходные приближения данного итерационного шага.

Нелинейное уравнение можно заменить линейным, разложив его в ряд Тейлора в окрестностях точки начального приближения . Такой процесс называется линеаризацией.

Указанное линейное уравнение имеет вид

, (2.2)

позволяет определить поправки первого итерационного шага метода Ньютона

и найти новые приближения узловых напряжений

.

Аналогично формула для i-й итерации метода Ньютона

.

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока , где – малая заданная величина, характеризующая точность расчета.