Метод Ньютона применим для решения нелинейных уравнений установившегося режима.
Метод Ньютона является алгоритмической основой большинства современных программных продуктов: обладает быстротой сходимости и применим для решения широкого класса нелинейных уравнений.
Отличие линейной
и нелинейной систем уравнений узловых напряжений
заключается в наличии нелинейной зависимости правых частей уравнений от узловых напряжений.
Рис. 2.2. Энергосистема с одним нагрузочным узлом
Нелинейное уравнение узловых напряжений, записанное для простейшего примера линии, соединяющий нагрузочный и базисный узлы (рис. 2.2) имеет вид:
или же с учетом выведенной зависимости узловых токов от мнимых и действительных частей напряжения соответствующего узла и активной и реактивной мощностей, потребляемых нагрузкой в том же узле
;
нелинейное уравнение узловых напряжений приобретает вид
,
откуда выражение зависимости от напряжения для небаланса тока в узле как разность правой и левой частей узлового уравнения
.
Рис. 2.3. Графическая интерпретация небаланса
Зависимость небаланса от напряжения представлена на рис. 2.3.
Здесь – небаланс тока, возникающий вследствие подстановки в уравнение узловых напряжений произвольных начальных приближений ;
– произвольное начальное приближение узловых напряжений;
– точное решение уравнения узловых напряжений.
При подстановке произвольных начальных приближений искомых параметров небаланс отличен от нуля
,
по мере того, как от итерации к итерации приближения узловых напряжений будут приближаться к точному решению, небаланс стремится к нулю.
Основная идея метода Ньютона заключается в том, что на каждом итерационном шаге система нелинейных уравнений заменяется некой системой линейных уравнений таких, что их решение дает значение неизвестных более близкие к решению нелинейной системы, чем исходные приближения данного итерационного шага.
Нелинейное уравнение можно заменить линейным, разложив его в ряд Тейлора в окрестностях точки начального приближения . Такой процесс называется линеаризацией.
Указанное линейное уравнение имеет вид
, (2.2)
позволяет определить поправки первого итерационного шага метода Ньютона
и найти новые приближения узловых напряжений
.
Аналогично формула для i-й итерации метода Ньютона
.
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока , где – малая заданная величина, характеризующая точность расчета.