Решение методом Ньютона системы нелинейных уравнений установившегося режима

 

В случае, если метод Ньютона применяется для определения узлового напряжения в сети, содержащей не один, а n-е число независимых узлов, вышеприведенные уравнения заменяются их матричными эквивалентами.

Например, в случае n=3 совокупность небалансов образует систему

,

которая может быть записана в форме вектор-столбца

,

где – столбец небалансов;

– столбец искомых узловых напряжений.

Вышеприведенную систему нелинейных уравнений необходимо заменить системой линейных уравнений, разложив нелинейные уравнения в ряд Тейлора в окрестностях точки начальных приближений . Например, линеаризация первого из трех уравнений системы данной системы путем разложения в ряд Тейлора дает линейное уравнение, включающее значение небаланса при подстановке начальных приближений и производные данного небаланса по каждому из искомых параметров.

Линеаризация всех трех уравнений рассматриваемой системы дает девять производных, которые в совокупности образуют квадратную матрицу производных (матрица Якоби).

,

где .

В общем случае линеаризация (2.2) нелинейной системы уравнений узловых напряжений на i-м итерационном шаге метода Ньютона в матричном виде имеет следующий вид

,

а итерационная формула данного шага

.

Приведенная запись определения новых приближений узловых напряжений не предполагает обращения матрицы производных. На каждом итерационном шаге решается система линейных уравнений

(2.3)

методом Гаусса или Зейделя, находятся поправки и следующие приближения.

Итерационный процесс считается сошедшимся, если

,

где – столбец значений небалансов токов при подстановке i-х приближений узловых напряжений, который для рассматриваемого примера (n=3) имеет вид

,

где – действительные и мнимые части узловых напряжений;

– значения небалансов действительных и мнимых частей токов.

Поскольку в общем случае число неизвестных связано с числом независимых узлов n отношением, матрица Якоби включает в себя четыре подматрицы размером n ×n

,

и линеаризованное уравнение (2.3) на i-м итерационном шаге в матричной форме имеет вид

 

или же

,

где – столбец i-х приближений искомых величин размером 2n.

Небалансы действительных и мнимых частей токов для k-ого узла при подстановке i-х приближений искомых параметров (действительных и мнимых частей узловых напряжений) определяются по формулам

Для каждой подматрицы матрицы Якоби различаются два вида производных: диагональные и недиагональные.

Все недиагональные производные подматриц матрицы Якоби представляют собой взятые с обратным знаком элементы узловых проводимостей. Они не зависят от напряжений и не меняются от итерации к итерации. Все диагональные производные подматриц матрицы Якоби нелинейно зависят от напряжений и меняются на каждой итерации.

Например, диагональные и недиагональные производные первой строки двух верхних подматриц матрицы Якоби

 

Диагональные и недиагональные производные первой строки двух нижних подматриц матрицы Якоби