В случае, если метод Ньютона применяется для определения узлового напряжения в сети, содержащей не один, а n-е число независимых узлов, вышеприведенные уравнения заменяются их матричными эквивалентами.
Например, в случае n=3 совокупность небалансов образует систему
,
которая может быть записана в форме вектор-столбца
,
где – столбец небалансов;
– столбец искомых узловых напряжений.
Вышеприведенную систему нелинейных уравнений необходимо заменить системой линейных уравнений, разложив нелинейные уравнения в ряд Тейлора в окрестностях точки начальных приближений . Например, линеаризация первого из трех уравнений системы данной системы путем разложения в ряд Тейлора дает линейное уравнение, включающее значение небаланса при подстановке начальных приближений и производные данного небаланса по каждому из искомых параметров.
Линеаризация всех трех уравнений рассматриваемой системы дает девять производных, которые в совокупности образуют квадратную матрицу производных (матрица Якоби).
,
где .
В общем случае линеаризация (2.2) нелинейной системы уравнений узловых напряжений на i-м итерационном шаге метода Ньютона в матричном виде имеет следующий вид
,
а итерационная формула данного шага
.
Приведенная запись определения новых приближений узловых напряжений не предполагает обращения матрицы производных. На каждом итерационном шаге решается система линейных уравнений
(2.3)
методом Гаусса или Зейделя, находятся поправки и следующие приближения.
Итерационный процесс считается сошедшимся, если
,
где – столбец значений небалансов токов при подстановке i-х приближений узловых напряжений, который для рассматриваемого примера (n=3) имеет вид
,
где – действительные и мнимые части узловых напряжений;
– значения небалансов действительных и мнимых частей токов.
Поскольку в общем случае число неизвестных связано с числом независимых узлов n отношением, матрица Якоби включает в себя четыре подматрицы размером n ×n
,
и линеаризованное уравнение (2.3) на i-м итерационном шаге в матричной форме имеет вид
или же
,
где – столбец i-х приближений искомых величин размером 2n.
Небалансы действительных и мнимых частей токов для k-ого узла при подстановке i-х приближений искомых параметров (действительных и мнимых частей узловых напряжений) определяются по формулам
Для каждой подматрицы матрицы Якоби различаются два вида производных: диагональные и недиагональные.
Все недиагональные производные подматриц матрицы Якоби представляют собой взятые с обратным знаком элементы узловых проводимостей. Они не зависят от напряжений и не меняются от итерации к итерации. Все диагональные производные подматриц матрицы Якоби нелинейно зависят от напряжений и меняются на каждой итерации.
Например, диагональные и недиагональные производные первой строки двух верхних подматриц матрицы Якоби
Диагональные и недиагональные производные первой строки двух нижних подматриц матрицы Якоби