Учет слабой заполненности матрицы узловых проводимостей

Наиболее эффективным способом экономии машинного времени и памяти является учет слабой заполненности матрицы узловых проводимостей, симметричной относительно главной диагонали и содержащей много нулевых элементов. С ростом сложности энергосистемы растет и отношение числа нулевых элементов к числу ненулевых. Для сложной энергосистемы число ненулевых элементов матрицы узловых проводимостей приблизительно 4n, т.е. каждый узел в среднем соединяется с тремя другими, и для достаточно большого n верно

Число элементов матрицы размером равно , и, следовательно, число нулевых элементов равно . Таким образом, для достаточно большого n отношение числа ненулевых и нулевых элементов стремится к нулю

где N(0) – число нулевых элементов матрицы ;

N() – число ненулевых элементов матрицы .

Учет слабой заполненности матрицы алгоритмически наиболее прост для метода Зейделя, в котором все ненулевые элементы на любом итерационном шаге остаются на одних и тех же позициях.

,

где

Сложнее для метода Гаусса, в котором, в процессе исключения переменных, возникают новые ненулевые элементы, число и позиции которых заранее определить сложно.

Учет слабой заполненности для метода Гаусса сводится к такой записи системы уравнений, чтобы в процессе ее решения возникло бы как можно меньше новых ненулевых элементов.

Наиболее простым способом является приведение к так называемой ленточной форме, когда ненулевые элементы группируются вдоль главной диагонали, т.е. матрица присоединения (квадратная матрица размером )

,

в данном случае имеет вид, когда вдоль главной диагонали группируются единицы, а позиции, удаленные от главной диагонали, заполнены нулями.

Алгоритм приведения матрицы к ленточной форме включает следующие этапы:

1. Для каждого узла определяется степень, которая равна числу узлов, с которыми соединен данный узел (рис. 2.6);

 

 

Рис. 2.6. Степени узлов

 

2. Выбирается узел с наименьшей степенью. Если таких узлов несколько, то один из них выбирается произвольно;

3. Нумеруется узел с наименьшей степенью, а затем смежные с ним узлы в порядке возрастания их степени;

 

Рис. 2.7. Нумерация узлов

 

4. Из числа пронумерованных узлов выбирается узел с наименьшим номером, и номеруются смежные с ним узлы в порядке возрастания их степени (рис. 2.7).

Такой способ нумерации позволяет уменьшить до минимума число новых ненулевых элементов, возникающих в процессе решения системы уравнений методом Гаусса.

При расчетах на ЭВМ используется специальная программа, которая проводит нумерацию узлов в соответствии с их степенью.

Возможность учета слабой заполненности матрицы – важное преимущество методов Гаусса и Зейделя перед методами, использующими матрицу узловых сопротивлений, в которой нет нулевых элементов.

На рис. 2.8. показан пример электрической сети, для которой матрица узловых проводимостей полностью заполнена т.е. все независимые узлы 2,3,4 соединены друг с другом и, соответственно, матрица присоединения

 

.

Итерационная формула метода Зейделя для этого случая имеет вид

.

На рис. 2.9. показан пример электрической сети с тремя независимыми узлами, для которой, ввиду отсутствия взаимных соединений между независимыми узлами, матрица узловых проводимостей имеет минимальную заполненность, что соответствует матрице присоединений

 

Рис. 2.8. Сеть, в которой все независимые узлы соединены друг с другом

 

Итерационная формула метода Зейделя в этом случае упрощается до набора простых равенств

,

где

и с учетом того, что

 

разность между напряжением в k-м узле и в базисном для данного случая

.

 

 

Рис. 2.9. Сеть, в которой независимые узлы имеют только собственные проводимости

 

 

При решении методом Зейделя системы нелинейных уравнений узловых напряжений, схеме на рис. 2.8 соответствует итерационная формула

 

,

в то время как для схемы на рис. 2.9, которой соответствует минимальная заполненность матрицы узловых проводимостей, та же итерационная формула упрощается до вида

.

Таким образом, учет слабой заполненности матрицы узловых проводимостей упрощает вычисления по методу Зейделя также и в случае решения системы нелинейных уравнений узловых напряжений.