Установившегося режима

 

Геометрическая интерпретация метода простой итерации показана на рис. 2.12, где φ(x) – нелинейная функция, – точка решения, – точка начального приближения искомого параметра, – значение, найденное на первой итерации.

 

Рис. 2.12. Графическая интерпретация метода простой итерации

 

 

Если данная кривая в окрестностях точки решения пологая

,

 

то итерационный процесс сойдется, в противном случае

итерационный процесс разойдется.

Если значение модуля производной определяет сходимость итерационного процесса, то значение производной определяет характер указанной сходимости: монотонный при

или колебательный при

.

Примеры монотонных и колебательных сходимостей и расходимостей итерационных процессов показаны на рис. 2.13 – 2.16.

 

 

 

Рис. 2.13. Монотонная сходимость

 

 

Рис. 2.14. Колебательная сходимость

 

 

Рис. 2.15. Монотонная расходимость

 

 

Рис. 2.16. Колебательная расходимость

 

Монотонная сходимость имеет следующие признаки:

1) все для любого -го шага имеют один знак;

2) для , все либо все .

В случае колебательной сходимости:

1) все на каждом -м шаге меняют знак;

2) на каждом следующем шаге итерационного процесса меняют свою позицию относительно , оказываясь то справа, то слева от точки решения .

Для сходимости метода Зейделя и простой итерации

,

где

необходимо, чтобы все собственные значения матрицы были по модулю меньше единицы

.

Число является собственным значением матрицы , если выполняется условие

,

где – собственный вектор матрицы , и определяется из условия

.

Например, для квадратной матрицы второго порядка собственные значения (их число совпадает с порядком матрицы) определяются раскрытием определителя

после чего собственные значения поочередно подставляются в уравнение

,

решение которого позволяет найти первый

и второй собственные вектора матрицы

.

При анализе сходимости системы линейных алгебраических уравнений используется также три нормы матрицы :

– наибольшая из сумм абсолютных значений элементов одной строки матрицы;

– наибольшая из сумм абсолютных значений элементов одного столбца матрицы;

– корень из суммы квадратов всех элементов матрицы.

Для сходимости итерационного процесса методом простой итерации или Зейделя при решении системы линейных алгебраических уравнений при любых начальных приближениях достаточно, чтобы любая из указанных норм была меньше единицы. Несоблюдение какого-либо из условий не означает, что итерационный процесс расходится. В то время как выполнение любой из норм гарантирует сходимость итерационного процесса.