Законы Кирхгофа и Ома в матричной форме

Умножение матрицы соединения ветвей и узлов и матрицы токов ветвей для графа, приведенного на рис. 1.7, дает столбец, каждый элемент которого представляет собой сумму токов в одном из узлов графа

 

.

С учетом наличия задающих узловых токов нагрузок для каждого узла может быть записано уравнение баланса, совокупность которых для всех узлов образует систему

.

В общем случае, для сети, содержащей сколь угодно большое число узлов, данная система может быть записана в матричной форме

,(1.1)

где – матрица, соединения узлов и ветвей;

– матрица токов ветвей;

– матрица задающих узловых токов.

Приведенное матричное выражение представляет собой запись первого закона Кирхгофа в матричной форме.

Второй закон, связывающий сумму падений напряжения на сопротивлениях ветвей, входящих в какой-либо независимый контур, и сумму ЭДС в том же контуре, может быть проиллюстрирован на примере для графа, приведенного на рис. 1.7: Произведение матрицы соединения ветвей и независимых контуров на столбец падений напряжения на сопротивлениях ветвей дает столбец, каждый элемент которого представляет собой сумму падений напряжения на сопротивлениях ветвей, входящих в соответствующий контур

 

,

 

где E_k – матрица контурных ЭДС ;

E_kI, E_kII, E_kIII – суммы ЭДС в соответствующих контурах.

В общем случае, будучи записанным в матричной форме, второй закон Кирхгофа имеет вид

, (1.2)

где – матрица падений напряжения на сопротивлениях ветвей.

Падения напряжений на сопротивлениях ветвей представляют собой произведение токов ветвей и их сопротивлений. Для записи закона Ома в матричной форме используется диагональная матрица сопротивлений ветвей, каждая строка и каждый столбец которой соответствуют определенной ветви, которая для случая графа, приведенного на рис. 1.7, имеет вид

 

.

 

Произведение матрицы сопротивлений ветвей на столбец токов ветвей дает столбец, каждый элемент которого представляет собой падение напряжения на сопротивлении одной из ветвей, и для данного примера имеет вид

 

.

 

В общем случае закон Ома в матричной форме имеет следующий вид:

. (1.3)

Если ввести матрицу ЭДС ветвей ,то для нее будут выполняться те же равенства, что и для матрицы падений напряжения на сопротивлениях ветвей

и, следовательно,

.

С учетом закона Ома

и, таким образом, можно записать выражение для падения напряжения в ветвях в общем случае

, (1.4)

где– матрица падений напряжений в ветвях в общем случае, содержащих ЭДС.