Определение напряжения в узлах сети

 

Напряжения узлов сети, наряду с токами ее ветвей, являются параметрами ее режима, и эти напряжения, называемые узловыми, отличаются друг от друга на величину падения напряжения в ветвях.

Задача определения напряжений в узлах приобретает единственное решение, в случае если напряжение задано в одном из узлов. Этот узел называется базисным. При известном базисном напряжении связь между матрицей узловых напряжений и матрицей падений напряжений в ветвях, в общем случае содержащих ЭДС, задается через транспонированную матрицу соединения ветвей и узлов .

Например, для схемы, приведенной на рис. 1.9, произведение транспонированной матрицы соединений и столбца разностей напряжений в независимых узлах и в базисном дает столбец падений напряжения в ветвях

 

Рис. 1.9. Расчетная схема

 

.

 

В общем случае приведенное выше уравнение связи может быть записано в матричной форме, приобретая при этом следующий вид

 

или, с учетом того, что

,

где – базисное напряжение,

выражение может быть переписано в виде

.

Если базисный и балансирующий узел не совпадают, связь между матрицей узловых напряжений и матрицей падения напряжения в ветвях задается через , получаемую из , составленной для всех узлов, вычеркиванием строки, соответствующей базисному узлу.

В примере для схемы, приведенной на рис. 1.9, при том, что балансирующий узел – a, базисный узел – b, матрица имеет вид

,

 

или же после вычеркивания строки

.

Для рассматриваемого примера взаимосвязь матриц и записывается через уравнение

.


В общем случае указанная взаимосвязь в матричной форме имеет следующий вид

.

С учетом закона Ома (1.3)

. (1.5)

Умножение правой и левой частей последнего выражения на обращенную диагональную матрицу сопротивлений ветвей и на матрицу соединения узлов и ветвей приводит выражение к виду

,

с учетом первого закона Кирхгофа

,

где – столбец задающих узловых токов.

Данное выражение – узловое уравнение, записанное через матрицу узловых проводимостей

,

где – квадратная матрица с числом строк и столбцов, соответствующих числу узлов, кроме базисного.

Таким образом, разность напряжений в независимых узлах и в базисном

,

что при вводе в уравнение матрицы контурных сопротивлений

,

дает узловое уравнение, записанное через матрицу контурных сопротивлений.

.

С учетом последнего выражения столбец искомых напряжений в независимых узлах может быть определен через уравнение

.