Напряжения узлов сети, наряду с токами ее ветвей, являются параметрами ее режима, и эти напряжения, называемые узловыми, отличаются друг от друга на величину падения напряжения в ветвях.
Задача определения напряжений в узлах приобретает единственное решение, в случае если напряжение задано в одном из узлов. Этот узел называется базисным. При известном базисном напряжении связь между матрицей узловых напряжений и матрицей падений напряжений в ветвях, в общем случае содержащих ЭДС, задается через транспонированную матрицу соединения ветвей и узлов .
Например, для схемы, приведенной на рис. 1.9, произведение транспонированной матрицы соединений и столбца разностей напряжений в независимых узлах и в базисном дает столбец падений напряжения в ветвях
Рис. 1.9. Расчетная схема
|
В общем случае приведенное выше уравнение связи может быть записано в матричной форме, приобретая при этом следующий вид
или, с учетом того, что
,
где – базисное напряжение,
выражение может быть переписано в виде
.
Если базисный и балансирующий узел не совпадают, связь между матрицей узловых напряжений и матрицей падения напряжения в ветвях задается через , получаемую из , составленной для всех узлов, вычеркиванием строки, соответствующей базисному узлу.
В примере для схемы, приведенной на рис. 1.9, при том, что балансирующий узел – a, базисный узел – b, матрица имеет вид
,
или же после вычеркивания строки
|
Для рассматриваемого примера взаимосвязь матриц и записывается через уравнение
|
В общем случае указанная взаимосвязь в матричной форме имеет следующий вид
.
С учетом закона Ома (1.3)
. (1.5)
Умножение правой и левой частей последнего выражения на обращенную диагональную матрицу сопротивлений ветвей и на матрицу соединения узлов и ветвей приводит выражение к виду
,
с учетом первого закона Кирхгофа
,
где – столбец задающих узловых токов.
Данное выражение – узловое уравнение, записанное через матрицу узловых проводимостей
,
где – квадратная матрица с числом строк и столбцов, соответствующих числу узлов, кроме базисного.
Таким образом, разность напряжений в независимых узлах и в базисном
,
что при вводе в уравнение матрицы контурных сопротивлений
,
дает узловое уравнение, записанное через матрицу контурных сопротивлений.
.
С учетом последнего выражения столбец искомых напряжений в независимых узлах может быть определен через уравнение
.