Число уравнений при определении токораспределения может быть уменьшено, если выразить искомые токи через падение напряжения в ветвях, находимое, в свою очередь, как разность напряжений в узлах.
Как правило, число узлов меньше числа ветвей (n<m), следовательно, определение узловых напряжений проще, чем вычисление токов ветвей прямым методом, предусматривающим работу с матрицей, имеющей порядок, равный числу ветвей.
Исходя из ранее выведенных уравнений (1.4), (1.5)
,
взаимосвязь между токами ветвей и матрицей разностей напряжений в независимых узлах и в базисном может быть определена как
,
где
– матрица токов ветвей;
– матрица разностей напряжений в независимых узлах и в базисном.
Если рассмотреть простейший случай сети, состоящей всего из трех ветвей, то матрица сопротивлений ветвей примет вид
.
Обращение матрицы, как уже было показано выше, представляет довольно громоздкую процедуру
,
но в данном случае, с учетом диагональности матрицы, вычисления существенно упрощаются. Определитель обращаемой матрицы
,
а сама матрица в обращенном и транспонированном виде
|
Элементы обращенной матрицы сопротивления ветвей – их проводимости. Это верно для данной матрицы любого порядка. Таким образом, вычисление обращенной матрицы сопротивлений ветвей в силу ее диагональности не представляет сложности.
Для вычисления матрицы (разность напряжений независимых и базисного узлов) требуется решение системы узловых напряжений, что связано с обращением матрицы узловых проводимостей.
Для упрощения процесса обращения матрицы узловых проводимостей возможно применение следующих методов:
- упрощение схемы замещения;
- предварительное преобразование матрицы.
Кроме того, возможен принципиальный отказ от алгоритмически простой, но громоздкой процедуры обращения матрицы и использование точных или итерационных методов решения линейных уравнений.