Расчет токораспределения методом узловых напряжений

Число уравнений при определении токораспределения может быть уменьшено, если выразить искомые токи через падение напряжения в ветвях, находимое, в свою очередь, как разность напряжений в узлах.

Как правило, число узлов меньше числа ветвей (n<m), следовательно, определение узловых напряжений проще, чем вычисление токов ветвей прямым методом, предусматривающим работу с матрицей, имеющей порядок, равный числу ветвей.

Исходя из ранее выведенных уравнений (1.4), (1.5)

,

взаимосвязь между токами ветвей и матрицей разностей напряжений в независимых узлах и в базисном может быть определена как

,

где

– матрица токов ветвей;

– матрица разностей напряжений в независимых узлах и в базисном.

Если рассмотреть простейший случай сети, состоящей всего из трех ветвей, то матрица сопротивлений ветвей примет вид

.

Обращение матрицы, как уже было показано выше, представляет довольно громоздкую процедуру

,

но в данном случае, с учетом диагональности матрицы, вычисления существенно упрощаются. Определитель обращаемой матрицы

,

а сама матрица в обращенном и транспонированном виде

 

.

 

Элементы обращенной матрицы сопротивления ветвей – их проводимости. Это верно для данной матрицы любого порядка. Таким образом, вычисление обращенной матрицы сопротивлений ветвей в силу ее диагональности не представляет сложности.

Для вычисления матрицы (разность напряжений независимых и базисного узлов) требуется решение системы узловых напряжений, что связано с обращением матрицы узловых проводимостей.

Для упрощения процесса обращения матрицы узловых проводимостей возможно применение следующих методов:

- упрощение схемы замещения;

- предварительное преобразование матрицы.

Кроме того, возможен принципиальный отказ от алгоритмически простой, но громоздкой процедуры обращения матрицы и использование точных или итерационных методов решения линейных уравнений.