Применение математических методов в энергетике

Применение математических методов в энергетике

Для оценки статической устойчивости

 

Существуют следующие виды устойчивости:

а) статическая (малые изменения режимных параметров в пределах линейных отклонений);

б) динамическая (большие и, как правило, уже нелинейные отклонения);

в) результирующая (временные отклонения с последующим восстановлением нормальной синхронной работы).

 

Энергетический критерий статической устойчивости

У любой системы есть состояния, т.е. режимы, в которой система, получив случайное возбуждение, стремится вернуться к исходному или близкому режиму,… Пусть – энергия, потребляемая нагрузкой, – энергия источника и в исходном… ,

Вариант 1

Увеличение нагрузки приводит к тому, что тормозящая ротор электромагнитная мощность, соответствующая новому увеличенному составу нагрузки, оказывается больше вращающей мощности турбины

,

тормозящий момент начинает превалировать над вращающим

и происходит снижение скорости вращения генератора и, соответственно, частоты до тех пор, пока не восстановится баланс вращающей мощности турбины и тормозящие мощности, вследствие снижения энергопотребления нагрузки при падении частоты в соответствии с ее статической характеристикой. Баланс восстанавливается, но при новом значении частоты f₁< f_н которое меньше номинального (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Восстановление баланса за счет снижения частоты

Рис. 3.4. Восстановление баланса за счет увеличения расхода энергоносителя

Вариант 2

Турбина снабжена автоматическим регулятором расхода энергоносителя, так что при увеличении нагрузки увеличивается и вращающая мощность турбины, в этом случае баланс восстанавливается, но при новом значении , т.е. частота сохраняется неизменной, но увеличивается сдвиг фаз, и режим приближается к критическому (рис. 3.4).

Таким образом, устойчивы те режимы, при возмущении которых факторы, стремящиеся к их восстановлению, растут интенсивнее, чем факторы, противодействующие этому восстановлению. Любой устойчивый режим можно сделать неустойчивым путем увеличения нагрузки (утяжеления).

На рис. 3.5 факторы, нарушающие устойчивость, обозначены как Н, факторы, стремящиеся к ее восстановлению – как В. При этом режим является устойчивым при

,

неустойчивым если

,

критическим при выполнении условия

.

 

 

 

Рис. 3.5. Устойчивый, неустойчивый и критический режимы

Сопоставление параметров критического и исследуемого устойчивого режимов определяет коэффициент запаса статической устойчивости

.

Статическая устойчивость – это способность системы восстанавливать исходный режим при малом его возмущении или режим, близкий к исходному, если возмущающее действие не снято.

Строгое решение задачи проверки статической устойчивости требует:

1) составление системы линеаризованных дифференциальных уравнений малых колебаний для всех элементов системы

.

или же в матричной форме

 

.

2) составление характеристического уравнения, полученного приравниванием к нулю определителя квадратной матрицы системы

.

Если все действительные корни и вещественные части всех комплексных корней отрицательны, то система устойчива.

Наличие хотя бы одного комплексного корня с положительной вещественной частью соответствует явлению самораскачивания (рис. 3.6).

 

 

Рис. 3.6. Колебательное нарушение статической устойчивости

 

Наличие хотя бы одного положительного действительного корня означает апериодический уход от исходного режима, т.е. происходит апериодическое нарушение статической устойчивости (рис. 3.7).

 

 

Рис. 3.7. Апериодическое нарушение статической устойчивости

Применение метода малых колебаний на примере простейшей одногенераторной энергосистемы

 

При сохранении установившегося режима уравнение движения ротора генератора в случае одногенераторной энергосистемы имеет вид

. (3.1)

При нарушении установившегося режима, уравнение (3.1) может быть разложено в ряд Тейлора по малому приращение фазного угла в окрестностях исходного значения

 

 

,

что с учетом

и пренебрежением слагаемыми ряда Тейлора, включающих производные выше первой, позволяет записать уравнение малых колебаний ротора

. (3.2)

При введение оператора , принимаемого в качестве алгебраической величины, уравнение (3.2) можно записать в операторной форме

или же

.

Поскольку приращение сдвига фаз при возмущении режима

,

Следовательно,

. (3.3)

Полученное уравнение (3.3) является характеристическим для рассматриваемой системы, и из условия

можно определить его корни

.

Решение характеристического уравнения имеет вид

.

 

Здесь возможны два случая:

1) ,

 

подкоренное выражение отрицательно и корни мнимые

,

что соответствует уравнению незатухающих гармонических колебаний (с учетом неизбежного демпфирования – затухающих)

.

2) ,

подкоренное выражение положительно и имеют место два действительных корня

,

поскольку один из корней положительный это соответствует апериодическому нарушению статической устойчивости

.

 

Применение метода малых колебаний для анализа

Статической устойчивости сложной энергосистемы

. Мощность, выдаваемая первым генератором из n генераторов ,

Критерий Гурвица статической устойчивости

В сложной электроэнергетической системе

Как уже упоминалось выше, режим системы является устойчивым, если все корни характеристического уравнения отрицательны. Если все корни… Рис. 3.8. Зависимость при статически устойчивой системе

Метод Михайлова проверки статической устойчивости сложной энергосистемы

Метод Михайлова заключается в графической интерпретации критерия статической устойчивости. Корни характеристического уравнения могут находиться в…  

Пример использования метода Михайлова

Для анализа статической устойчивости

Одногенераторной системы

Простейшая энергосистема, включающая один генератор, узел присоединения нагрузки и линию, соединяющую генераторный и нагрузочный узел, изображена на…  

Для оценки статической устойчивости

Методом D-разбиения находится такое значение коэффициента усиления или какого-либо иного параметра, при которых характеристическое уравнение… В зависимости от числа параметров различают метод D-разбиения по одному, двум… 1) метод D-разбиения по одному параметру.

Статическая устойчивость и сходимость

Итерационного процесса при расчете

Установившегося режима

Применение ЭВМ для расчета установившегося режима и анализа статической устойчивости вызвало интерес взаимосвязи этих проблем. Якобиан системы уравнений установившегося режима совпадает со свободными… 1) в качестве независимых переменных в генерирующих узлах выбирается активная мощность и модули напряжения;

Определение режимов

Предельных по апериодической устойчивости

Утяжеления может производиться следующими способами: 1) увеличение общей нагрузки энергосистемы в заданных узлах; 2) уменьшение напряжения в заданных узлах;

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы

Основные определения и вывод основных уравнений

Модальный анализустойчивости требует приведения модели энергосистемы к нормальному виду, т.е. все линеаризованные дифференциальные уравнения должны…   ,

Этапы модального анализа динамических свойств

Динамические свойства энергосистемы определяются следующими параметрами: 1) частота электромеханических колебаний (ЭМК) ротора генератора , где ;

Анализ мод электромеханических колебаний (ЭМК)

· Системные; · Подсистемные; · Локальные.

Методы определения

Собственных значений и собственных векторов

Матрицы состояния энергосистемы

Указанные методы делятся на два основных класса:

1) методы, определяющие по одному собственному значению и одному собственному вектору в одном интервале цикле:

а) степенной метод;

б) метод обратной матрицы;

2) методы, определяющие весь спектр собственных векторов и собственных значений в одном интервале цикле:

а) QR-алгоритм;

б) QL-алгоритм.

 

Степенной метод

Собственные значения и собственные вектора квадратной матрицы состояния удовлетворяют уравнению . В начале первой итерации степенного метода произвольно задается начальное приближение первого собственного вектора ,…

Степенной метод со сдвигом

Для определения второго собственного значения матрицы формируется матрица , диагональные элементы которой сдвинуты относительно на , т.е. причем вычисляется способом, описанным выше.

Методы определения всего спектра

Собственных значений и собственных векторов

Матрицы состояния энергосистемы в одном итерационном цикле

К данным методам относятся следующие алгоритмы: QR-алгоритм для вещественных матриц; QL-алгоритм для комплексных матриц.

Блочно-треугольная форма записи

Матрицы состояния энергосистемы

Если матрица имеет комплексные корни, то путем преобразования подобия ее невозможно привести к верхнетреугольной форме, однако можно привести ее к… . Для поддиагональных элементов данной матрицы выполняется следующее условие