Анализ мод электромеханических колебаний (ЭМК)

Существуют следующие виды мод ЭМК:

· Системные;

· Подсистемные;

· Локальные.

Вышеуказанные пар комплексно сопряженных собственных значений дает спектр ЭМК, который по-разному проявляется в режимных параметрах. Наиболее опасными являются низкочастотные слабозатухающие электромеханические колебания, которые охватывают всю энергосистему и проявляются в виде колебаний с наибольшей амплитудой во всех режимных параметрах. Следовательно, необходимо установить иерархию частот, выделив в первую очередь низкочастотные колебания. Для этого необходимо проанализировать компоненты собственного вектора выделенной подматрицы.

Иерархия мод определяется двумя признаками собственного вектора:

– модуль собственного вектора;

– фаза собственного вектора.

Для отличия системных мод от локальных используются различия по модулю компонент собственного вектора. Если модули всех элементов собственного вектора лежат в диапазоне , следовательно, мода системная. Если для какого – либо i, то мода является локальной.

Для отличия системных мод от подсистемных используются различия по фазе собственного вектора.

Пусть имеется энергосистема, содержащая шесть генераторных узлов и такое же количество синхронных машин (рис. 4.5). Собственные значения и собственные вектора матрицы состояния данной энергосистемы приведены в табл. 4.1.

Рис. 4.5. Схема электрической сети, содержащей генераторные узлы

Таблица 4.1

Собственные значения и собственные вектора матрицы состояния энергосистемы приведенной на рис. 4.5

Собственное значение
(частота), рад/с	4,8	7,9	15,6

Поскольку вещественные части всех собственных значений в рассматриваемом примере отрицательны, система является статически устойчивой.

Первая мода, соответствующая частоте , является системной, поскольку для всех модулей компонент ее собственного вектора верно . По признакам фаз элементов собственного вектора она разбивается на две подсистемные моды (рис. 4.6)

Рис. 4.6. Элементы собственного вектора системной моды

Вторая мода, соответствующая частоте , является локальной, поскольку два из шести компонент ее собственного вектора меньше десятой части максимального компонента, т.е. амплитуда колебаний роторов двух генераторов на данной частоте меньше десятой части амплитуды для второго генератора, для которого данная частота колебаний является собственной

по признакам фаз элементов собственного вектора данная мода также разбивается на две подсистемные.

Третья мода, соответствующая частоте , также является локальной, поскольку

Аналогично производится анализ остальных мод ЭМК.

Следующим этапом является проверка качества демпфирования. Демпфирование на частоте j-го ЭМК является удовлетворительным, если и неудовлетворительным при . Как видно из табл. 4.1, для первой моды демпфирование неудовлетворительно, а для остальных мод (для всех j принадлежащих диапазону 2…5) и демпфирование удовлетворительно.

Первая мода вследствие ее низкочастотности проявляется во всей системе, но больше всего в режимных параметрах первого генератора, для которого ее частота является частотой собственных колебаний. Для получения удовлетворительного демпфирования необходимо повысить декремент затухания на системной частоте, т.е. подобрать настройки первого генератора таким образом, чтобы демпфировалась частота первой моды.

Каждой моде j-й электромеханических колебаний соответствует пара комплексно сопряженных собственных значений матрицы состояния энергосистемы

Паре комплексно сопряженных собственных значений в свою очередь соответствует пара комплексно сопряженных собственных векторов (рис. 4.7)

Рис. 4.7. Пара комплексно сопряженных собственных векторов

Как было показано выше, решение для переменной состояния
(в данном случае угла отклонения) записывается в виде

. (4.6)

Каждому слагаемому суммы (4.6) соответствует пара комплексно сопряженных собственных значений и пара комплексно сопряженных собственных векторов

. (4.7)

Если записать выражение (4.7) через показательные степени

и вынести общие сомножители за скобки

то полученное уравнение соответствует уравнению гармонических колебаний

Для рассматриваемого примера (см. табл. 4.1) угол отклонения ротора первого генератора можно также записать как сумму, каждое слагаемое которой соответствует частоте одной из мод ЭМК

Амплитуды трех последних мод на два порядка меньше системной, их демпфирование удовлетворительно, поэтому ими можно пренебречь.

Периоды ЭМК первой и второй мод соответственно

Декремент затухания первой моды α = –0,03 (что означает уменьшение амплитуды в e раз за 30 с, т.е. за 20 периодов), амплитуда колебаний с частотой первой моды для ротора первого генератора U₁₁=1, фаза φ₁₁=0.

Декремент затухания второй моды α = –0,25 (что означает уменьшение амплитуды в e раз за 4 с, т.е. за 5 периодов), амплитуда колебаний с частотой второй моды для ротора первого генератора U₁₂=0,1, фаза φ₁₂=174°.

ЭМК первой и второй мод для первого генератора рассматриваемого примера и их результирующая кривая показаны на рис. 4.8.

Рис. 4.8. Временная зависимость угла отклонения ротора генератора

от синхронной оси

4.4. Приведение математической модели энергосистемы
к системе дифференциальных уравнений первого порядка

Приведение математической модели энергосистемы к данной форме необходимо для модального анализа устойчивости. Дифференциальные уравнения любого порядка

можно привести к дифференциальному уравнению первого порядка с помощью замен

в результате чего исходное уравнение приобретает вид

или же при введении оператора

Пусть энергосистема содержит три синхронных генератора, которые находятся, соответственно, в трех узлах электрической сети. Как показано в [9], в этом случае уравнения движения роторов генераторов имеют вид

(4.8)