Собственные значения и собственные вектора квадратной матрицы состояния удовлетворяют уравнению
.
В начале первой итерации степенного метода произвольно задается начальное приближение первого собственного вектора , соответствующего первому собственному значению матрицы
,
причем начальное приближение должно быть ненулевым
.
Затем определяется следующее приближение собственного вектора по формуле
.
Поскольку
,
следовательно,
. (4.11)
Для определения первого приближения собственного значения λ необходимо умножить обе части уравнения (4.11) на транспонированные столбцы начального приближения собственного вектора (произведение строки и столбца дает число, что соответствует размерности собственного значения λ)
,
откуда
.
Для степенного метода k-я итерация включает следующие этапы:
1. Определение нового приближения собственного вектора
;
2. Определение нового приближения собственного значения
;
3. Проверка сходимости итерационного процесса
.
Таким образом, k-е приближение собственного вектора представляет собой произведение его начального приближения на матрицу в k-й степени
,
откуда и название метода – степенной.