Степенной метод

 

Собственные значения и собственные вектора квадратной матрицы состояния удовлетворяют уравнению

.

В начале первой итерации степенного метода произвольно задается начальное приближение первого собственного вектора , соответствующего первому собственному значению матрицы

,

причем начальное приближение должно быть ненулевым

.

Затем определяется следующее приближение собственного вектора по формуле

.

Поскольку

,

следовательно,

. (4.11)

Для определения первого приближения собственного значения λ необходимо умножить обе части уравнения (4.11) на транспонированные столбцы начального приближения собственного вектора (произведение строки и столбца дает число, что соответствует размерности собственного значения λ)

,

откуда

.

Для степенного метода k-я итерация включает следующие этапы:

1. Определение нового приближения собственного вектора

;

2. Определение нового приближения собственного значения

;

3. Проверка сходимости итерационного процесса

.

Таким образом, k-е приближение собственного вектора представляет собой произведение его начального приближения на матрицу в k-й степени

,

откуда и название метода – степенной.