Степенной метод со сдвигом

 

Для определения второго собственного значения матрицы формируется матрица , диагональные элементы которой сдвинуты относительно на , т.е.

причем вычисляется способом, описанным выше.

В итерационном цикле вычисляются – собственное значение матрицы

Для данного итерационного цикла каждый k-й шаг включает следующие этапы:

1) умножение матрицына значение ее собственного вектора, найденного на предыдущей итерации

;

2) определение нового приближения собственного значения матрицы

;

3) проверка сходимости

,

где – заданное число, характеризующее точность расчета;

4) определение k-го приближения собственного вектора делением столбца, найденного в первом пункте, на максимальный по модулю элемент данного столбца

.

После того, как в результате данного итерационного цикла с заданной точностью находится собственное значение матрицы, определяется следующее собственное значение матрицы по формуле

.

Для определения третьего собственного значения матрицы формируется матрица со сдвигом диагональных элементов относительно на + .

.

В результате итерационного цикла определяется – собственное значение матрицы и затем определяется третье собственное значение матрицы

.

Таким образом, можно найти все или необходимое число собственных значений матрицы .

Пусть представляет собой матрицу третьего порядка

,

а начальное приближение собственного вектора

.

Тогда первые приближения собственного вектора и собственного значения, вычисляемые в процессе первого итерационного шага

,

.

Второй итерационный шаг степенного метода для данного примера имеет вид

 

и включает проверку сходимости, условие которой в данном случае не выполняется

,

где 0,1 – заданное малое число, характеризующее точность расчета.

Пусть на неком k-м шаге итерационный процесс сошелся с заданной точностью при значении . Таким образом, в ходе первого итерационного цикла определяется первое собственное значение матрицы .

Следующий итерационный цикл предваряется формированием матрицы со сдвигом диагональных элементов относительно матрицы на найденное выше первое собственное значение

.

Первый шаг итерационного процесса включает задание начального приближения собственного вектора матрицы

;

умножение данного начального приближения на матрицу

;

определение первого приближения собственного значения

;

определение первого приближения собственного вектора

 

.

На второй итерации аналогично определяются следующие приближения собственного вектора и собственного значения

 

и производится проверка сходимости итерационного процесса

.

Хотя на второй итерации заданная точность расчета не достигнута, но поскольку, как было вычислено выше,

,

можно утверждать, что собственное значение, вычисленное на третьей итерации

,

и, следовательно, на третьей итерации условие сходимости будет удовлетворено

.

Таким образом, в ходе второго итерационного цикла, включающего три шага, определяется собственное значение , что позволяет найти второе собственное значение матрицы

.