Гармоническое колебание и способы его представления

Гармонический сигнал – это сигнал, который описывается гармонической функцией времени: sin(t), cos(t).

Гармоническое колебание, а также сигнал произвольной формы могут быть представлены в следующих формах:

1) временное представление сигнала;

2) комплексное представление;

3) векторное представление;

4) спектральное;

5) операторное.

1) При временном представлении сигнал записывается в виде аналитической функцией времени: .

Его график – зависимость от времени – называется временной диаграммой (рис.2.8.). Основными параметрами гармонического сигнала являются:

1. Амплитуда - A_m (наибольшее отклонение от нуля гармонической функции). Размерность амплитуды связана с физической природой сигнала.

2. Период - T (минимальное расстояние между точками находящимися в одной фазе), ω=2π/T - круговая частота, f=1/T – циклическая частота. Их размерность: T ® [сек]; f ® [Гц]; ω ® [рад/сек].

3. j₀=ωt₀ – начальная фаза гармонического колебания гармонического колебания; t₀ – временной сдвиг, если t₀>0, то это означает опережение, если t₀<0, то это означает задержку сигнала.

4. (ωt + φ₀) – полная фаза гармонического колебания.

2) При комплексном представлении гармоническое колебание, как функция времени, заменяется комплексной амплитудой, т. е. комплексным числом независящим от времени. Это делается для упрощения записи и операций над гармонической функции.

Вспомним комплексные числа. - комплексное число. Его можно записать в одной из трех форм: алгебраической, показательной и тригонометрической.

=

где

- реальная часть, - мнимая часть комплексного числа. На рис. 2.9 показано геометрическое представление комплексного числа на комплексной плоскости.

А – mod[Z] – модуль комплексного числа Z, или А=(а²+b²)^1/2 - длины вектор комплексного числа.

φ =arg[Z] – аргумент комплексного числа Z, или φ = arctg(b/a) – начальная фаза.

Выражение А_me^j(ωt+φ) называют комплексом гармонической функции. Тогда учитывая, что Аcosφ = Re{Ae^jφ}, можно записать

Комплексную величину называют комплексной амплитудой гармонического сигнала, а е^jωt – множитель вращения. Комплексная амплитуда содержит информацию о двух важнейших параметрах гармонического сигнала – об амплитуде и о начальной фазе. Комплексная амплитуда и гармоническая функция времени, при известной частоте связаны однозначно, т. е.

.

Например: гармоническому колебанию u(t)=256cos(2π100t - 45⁰) соответствует комплексная амплитуда- Ù_m = 256e^-j45.

3) Векторное представление – это представление сигнала вектором на комплексной плоскости. При расчетах удобно использовать следующие понятия о гармоническом сигнале:

а) комплексное гармоническое колебание - гармонический комплекс:

s(t)= А_me^j(ωt+φ)= Å_me^j(ωt) ,

где e^jωt – множитель вращения. На комплексной плоскости гармонический комплекс представляется вектором А_m c начальной фазой φ₀ вращающимся против часовой стрелки с частотой ω.

б) гармоническое колебание s(t) = A_mcos(ωt+φ₀) = Re{Å_me^jφ}. На комплексной плоскости гармоническое колебание представляется проекцией вращающегося с частотой ω против часовой стрелки вектора гармонического комплекса на реальную ось.

в) Комплексная амплитуда . На комплексной плоскости она представляется в виде неподвижного вектора с амплитудой A_m и начальной фазой j₀.

5) Спектральное представление сигнала.

6) Операторное представление сигнала.

Два последних способа описания сигнала рассмотрим подробнее.