Tеорема Винера-Хинчина

Энергетический спектр S(f) и автокорреляционная функция K(t) стационарного случайного процесса x(t) связаны друг с другом парой преобразования Фурье (теорема Винера - Хинчина). При этом энергетический спектр S_x(f) стационарного случайного процесса x(t) определяется как преобразование Фурье от автокорреляционной функции:

, (2.16)

где w = 2pf – угловая частота, i – мнимая единица.

Автокорреляционная функция в свою очередь есть обратное преобразование Фурье от спектральной плотности мощности шума S_x (f).

(2.17)

Поскольку автокорреляционная функция стационарного случайного процесса K(t) является четной функцией временного сдвига t, последнее выражение можно преобразовать к виду, удобному для расчетов:

(2.18)

Отсюда при t = 0 (и при ) получим выражение для дисперсии случайной величины x(t):

=, (2.19)

которая есть не что иное, как среднеквадратичное значение случайной величины x(t), а для случая электрических сигналов – мощность шума, выделяемая на сопротивлении 1 Ом.

Автокорреляционная функция K(t) и энергетический спектр S(f) стационарного случайного процесса, как пара преобразования Фурье, обладают всеми присущими этому преобразованию свойствами. В частности, чем шире эффективная ширина спектра, тем быстрее изменяется значение флуктуирующей переменной, и тем быстрее процесс забывает свое начальное состояние, т.е. с увеличением ширины полосы частот энергетического спектра время корреляции уменьшается. Т.е., чем меньше ширина функции корреляции случайного процесса на оси временного сдвига t, тем шире его спектр. Для всех процессов с одинаковой формой энергетического спектра и, следовательно, с корреляционной функцией одного вида произведение является некоторой константой.