Взаимная корреляционная функция и взаимный энергетический спектр

Во многих практических задачах приходится изучать одновременно два или большее число случайных процессов. Для двух случайных переменных x и y, совместная функция плотности вероятности f (x,y) должна удовлетворять следующим соотношениям:

(2.22)

При рассмотрении двух стационарных случайных процессов простейшим совместным моментом распределения является взаимная корреляционная функция двух случайных процессов. Пусть x(t) и y (t) – стационарные и стационарно связанные (т.е. их связь не меняется со временем) случайные процессы. Заметим, что из стационарности x(t) и y(t), вообще говоря, не следует их стационарная связанность.

Количественной характеристикой степени статистической связи двух случайных величин служат взаимные корреляционные функции этих процессов K_xy() и K_yx(), которые удовлетворяют следующим соотношениям:

K_xy() = (2.23)

K_xy() = K_yx(-). (2.23а)

Хотя взаимные корреляционные функции двух стационарно связанных случайных процессов зависят только от разности моментов времени, каждая из этих функций не является четной (в отличие от корреляционной функции стационарного случайного процесса), т.е.

K_xy() K_xy(-). (2.24)

Процессы, для которых взаимные корреляционные функции равны постоянной величине (или, в частности, обращаются в нуль), называют некогерентными.

Для двух стационарных и стационарно связанных случайных процессов можно вычислить взаимный энергетический спектр по теореме Винера–Хинчина (2.16), подставив в него вместо автокорреляционной функции K(t) взаимную корреляционную функцию этих процессов K_xy(). При этом для взаимных энергетических спектров случайных процессов x(t) и y (t) имеем следующие соотношения:

, (2.25)

, (2.25а)

Взаимные корреляционные функции в свою очередь можно выразить, через обратное преобразование Фурье от взаимных энергетических спектров по формулам:

(2.26)

(2.26а)

Следует отметить, что в отличие от энергетического спектра стационарного случайного процесса, который является действительной четной функцией, взаимный энергетический спектр для двух процессов – комплексный, действительная часть которого четна, а мнимая нечетна. Это следует из того, что взаимная корреляционная функция этих процессов не является четной.

Величина

R_xy(, (2.27)

называется взаимным коэффициентом корреляции двух случайных процессов. Здесь – средние значения случайных величин x(t) и y (t), и – их дисперсии соответственно. Если средние значения случайных процессов равны нулю, тогда

R_xy(, (2.27а)

а при отсутствии временного сдвига (τ=0) между случайными величинами x(t) и y (t) для коэффициента корреляции имеем простое соотношение:

R_xy, (2.27б)

где -1 .

Если случайные величины x(t) и y (t) не коррелированны, тогда и R_xy = 0.