Метод Ланжевена
Этот метод был развит Ланжевеном вскоре после появления основополагающей работы Эйнштейна по теории броуновского движения (1905), где ему удалось учесть как вязкость, так и инерционные силы, действующие непосредственно на систему. Теория Ланжевена может быть использована при анализе флуктуационных явлений в различных системах. При этом записывается линеаризированное дифференциальное уравнение для рассматриваемой макросистемы, в правую часть которой наравне с истинными внешними силами вводят случайную возмущающую функцию, описывающую флуктуации (действие шумов), которые принимаются дельта-коррелированным стационарным случайным процессом.
Рассмотрим простейший случай движения свободной частицы массы M в вязкой среде в направлении x, которое описывается уравнением движения Ньютона
M
(2.31)
где v – составляющая скорости частицы вдоль оси x, а 
– соответствующая составляющая полной силы, действующей на частицу в произвольный момент времени.
Ланжевен предложил представить действующую на частицу силу в виде:
= -
+ 
, (2.32)
где слагаемое –v/B дает действующую со стороны среды на частицу среднюю силу, обусловливающую вязкость или трение. Здесь 1/B – коэффициент трения (B – подвижность), а член 
(t) учитывает быстро меняющуюся во времени часть силы и характеризует влияние очень частых отдельных соударений молекул среды с рассматриваемой частицей. Объединяя уравнения (2.31) и(2.32), получаем выражение:
M
(2.33)
или после преобразования имеем:
(2.33а)
где 
– весьма быстро меняющаяся во времени величина, имеющая размерность ускорения и характеризующая молекулярные соударения, τ1 = MB – макроскопическое время релаксации для исследуемой частицы.
Здесь следует отметить, что характерное время t, необходимое для существенного изменения величины в стохастическом дифференциальном уравнении первого порядка (2.33а), считается гораздо меньшим макроскопического времени релаксации τ1 для исследуемой частицы. Т.е. случайная функция в уравнении (2.33а) считается дельта-коррелированным случайным процессом.
Стохастическое дифференциальное уравнение (2.33а) можно записать в общем виде для произвольных спонтанных флуктуаций, например, для флуктуаций электрического тока или напряжения. В общем случае имеем стохастическое дифференциальное уравнение в виде:
(2.33б)
где макроскопическое время релаксации системы τ определяется параметром a = τ-1, а функция 
представляет собой дельта-коррелированный стационарный случайный процесс.
В (2.33б) стационарному случайному процессу соответствует стационарный случайный процесс x(t). После применения преобразования Фурье к уравнению (2.33б) получим:
x(
= 
(2.34)
и для СП флуктуаций процесса x(t) имеем соотношение:
Sx(= 
, (2.35)
где 
– СП белого шума для дельта-коррелированного случайного процесса .
3. Краткие сведения о флуктуациях в электронных приборах. Физические источники шумов в твёрдых телах
Существует несколько видов электрических шумов в твердых телах, различающихся по физической природе и математическому описанию. Шумы характеризуется своим частотным спектром, распределением амплитуды и физическим источником (происхождением). Рассмотрим основные виды шумов. В интегральных микросхемах и электронных приборах основными источниками шумов являются резисторы, контакты, полупроводниковые диоды и транзисторы. К важнейшим видам шумов относятся; тепловой, дробовой, генерационно-рекомбинационный (ГР), взрывной шум или шум в виде случайного телеграфного сигнала (СТС шум), фликкер-шум. Последний вид шума называют также шумом вида 1/f или 1/f шум.
Кроме названных видов шумов, в твердых телах, в особенности, в элементах малых размеров наблюдается еще один вид шума, обусловленный температурными флуктуациями тела, возникающими из-за теплообмена между этим телом и термостатом (окружающей средой) вследствие флуктуаций мощности испускаемого и поглощаемого излучения. В ИС существуют флуктуации теплообмена с окружающим пространством различных теплопроводящих элементов (транзисторы, резисторы, межсоединения и т.д.).
В этом разделе будут рассмотрены физические механизмы возникновения каждого из названных видов шумов в твердых телах (металлах, полупроводниках), а также различные виды флуктуаций в природных и в биологических системах.