Переход от механики Ньютона к статистической механике.

Пусть частица с массой m, подчиняющаяся законам механики Ньютона, совершает свободное падение в вязкой среде (газ, жидкость) с коэффициентом трения k_тр. При этом сила трения определяется выражением: F_тр = k_тр×v, где v – скорость частицы. Трение возникает вследствие случайной бомбардировки частицы молекулами среды, и поэтому коэффициент трения k_тр(t) является случайной функцией времени t. В общем случае уравнение движения частицы в вязкой среде без учета силы Архимеда имеет вид:

m = mg – k_тр(t)×v, (1.1)

где g – ускорение свободного падения тела.

а) В механике Ньютона обычно считают коэффициент трения k_тр(t) постоянной величиной. В этом случае скорость частицы v при установлении равномерного движения постоянна, т.е. v = v₀. Путь пройденный частицей х = v₀t и х² = vt² µ t², т.е. квадрат пройденного частицей пути пропорционален t². В классической механике движение частицы полностью предсказуемо и обратимо. Для ансамбля частиц, подчиняющихся ньютоновским законам движениям, можно записать: <x²> = vt², где угловые скобки означают усреднение по ансамблю.

б) При движении малой частицы в вязкой среде скорость ее нельзя считать постоянной величиной, поскольку вследствие случайной бомбардировки поверхности частицы молекулами среды скорость будет случайной функцией времени, равной v(t) = v₀ + Dv(t), где v₀ – средняя скорость, Dv(t) – флуктуации скорости, вызванные флуктуациями силы трения: F_тр (t)= k_тр (t)×v, вследствие случайной бомбардировки поверхности движущейся частицы молекулами среды. При уменьшении размера частицы флуктуации скорости Dv(t) возрастут.

в) Для очень малой частицы, сравнимой с размерами молекул среды, мы переходим к броуновскому движению, при котором движение частицы между двумя моментами времени совершенно не предсказуемо и необратимо. Термин “броуновское движение” связан с именем биолога Роберта Броуна, наблюдавшего в 1828 году под микроскопом движение мельчайших частиц пыльцы растений, взвешенных в воде. Броун изучал движение частиц большого числа предметов (в том числе даже осколок Сфинкса, привезенный из Египта) и нашел, что обнаруженное им движение проявляется у каждого из исследованных веществ. И только спустя 77 лет Эйнштейн в 1905 году показал, что причиной броуновского движения является непрерывная и хаотическая бомбардировка взвешенных частиц молекулами окружающей жидкости. Сам же Броун, основываясь на универсальности эффекта, предположил, что он открыл существование некой элементарной формы жизни, присущей всей органической и неорганической материи.

Движение броуновской частицы подчиняется закону диффузии, при которой для среднеквадратичного смещения <x²> справедливо выражение Эйнштейна:

<x²>, (1.2)

где D – коэффициент диффузии.

Согласно (1.2) для ансамбля броуновских частиц, испытывающих чистую диффузию, или для одной частицы, среднеквадратичное смещение <x²> пропорционально первой степени времени t, т.е. <x²> . В этом предельном случае можно сказать, что движение частицы между двумя моментами времени совершенно непредсказуемо в деталях и необратимо. Строго говоря, мы можем предсказывать поведение ансамбля броуновских частиц по вероятностным характеристикам, а не одиночной частицы.

В общем случае характеристики различных явлений, наблюдаемых в физических системах, лежат где-то между двумя предельными случаями: полностью случайные и полностью предсказуемые (регулярные).