Преобразование шума в линейных цепях

Рассмотрим теперь, как преобразуется электрический шум в линейных цепях. Пусть на вход линейного четырехполюсника с коэффициентом передачи К(f) (рис. 5.1) подключен источник шума X(t) со спектральной плотностью на входе . На выходе четырехполюсника имеем электрический шум Y(t) со спектральной плотностью . Cпектральные плотности шума на входе и выходе четырехполюсника связаны простым соотношением:

(5.1)

из которого видно удобство использования спектрального представления электрического шума при анализе флуктуаций в линейных системах. А именно, для линейных физических систем энергетический спектр выходного случайного процесса равен энергетическому спектру процесса на входе, умноженному на квадрат амплитудно-частотной характеристики системы.

Рис. 5.1. Преобразование шума линейным четырехполюсником с коэффициентом передачи К(f).

 

Формула 5.1 позволяет анализировать шум в линейных схемах. В качестве примера рассмотрим простую RC схему (рис. 5.2), где генератор теплового шума, создаваемого сопротивлением R, со спектральной плотностью (см. раздел 4), который нагружен на емкость C. Передаточная функция приведенной схемы имеет вид:

, (5.2)

и для модуля коэффициента передачи имеем:

. (5.3)

Рис. 5.2. RC схема, преобразующая тепловой шум сопротивления R.

 

Используя выражения (5.1) и (5.3), для СП шума на емкости C получим:

, (5.4)

и для среднего квадрата напряжения на конденсаторе имеем:

. (5.5)

Заметим, что величина не зависит от сопротивления R. Это соотношение является следствием закона о равномерном распределении энергии по степеням свободы, согласно которому на одну степень свободы приходится энергия, равная . Этим свойством и характеризуется емкость C (при отсутствии на ней напряжения от внешнего источника). Для энергии на конденсаторе тогда можно записать:

. (5.6)

Откуда и следует соотношение (5.5).

Пользуясь связью между входным и выходным шумом в линейном четырехполюснике (5.1), можно получить связь между спектральными плотностями шума на входе и на выходе для любой линейной схемы с произвольным числом источников шума. Заметим, что источники шума могут находиться внутри самого четырехполюсника.

Рассмотрим теперь линейную схему со многими входами x₁(t), x₂(t),…, x_k(t), на которые воздействуют k некоррелированных источников стационарного шума с нулевым средним значением , как показано на рисунке 5.5. На выходе схемы имеем сигнал y(t).

, –y Рис. 5.3. Линейная схема с k входами и с подключенными к ним источниками шума .

 

В установившемся режиме СП шума на выходе схемы определяется выражением:

, (5.7)

где коэффициент передачи для i-го источника.

При этом на выходе схемы для средней мощности шума, выделяющейся на сопротивлении 1 Ом, можно записать:

(5.8)

где – выходное напряжение шума, создаваемое i-источником.