Механические переходные процессы

Движение электропривода при М(w ) = const, М_с(w) = const. Пусть исходное состояние электропривода характеризуется установившимся режимом движения с постоянной начальной угловой скоростью w_нач под воздействием начальных значений моментов двигателя и реактивных сил сопротивления нагрузки М(w ) = М_нач = М_с(w) = М_с (рис. 2.6, а). Если, начиная с момента времени t = 0 механическая характеристика двигателя измениться скачком до М(w ) = М₁, а момент сил сопротивления М_с(w) = М_с останется постоянным, то под воздействием постоянного динамического момента

М_дин (w) = М₁ - М_с = J_S dw/ dt > 0 (2.4)

скорость движения вала двигателя будет равноускоренно увеличиваться, достигнув за конечное время t_п скорости w_кон (рис. 2.6, б). После скачкообразного уменьшения при t_п момента М(w ) с М₁ до М_с , когда М_дин (w) вновь станет равным нулю, движение вала двигателя будет установившимся со скоростью w_кон . Зависимость угловой скорости вала двигателя от времени w (t) определится в результате решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (2.4) как

,

 

где постоянная интегрирования С = w_нач определяется из начального условия: при t = 0, w = w_нач.

Отсюда:

w = w_нач + (2.5)

Уравнение (2.5) справедливо в интервале времени 0 < t < t_п , где значение М_дин (w) постоянно и более нуля. В этом же временном интервале постоянно и ускорение движения вала двигателя:

e = dw/ dt = М_дин (w)/ J_S = (М₁ - М_с) / J_S.

Таким образом, при постоянстве динамического момента скорость движения вала двигателя будет меняться линейно во времени с темпом, определяемым М_дин, стремясь к w_кон = ¥ при t_п ® ¥.

Продолжительность переходного процесса t_п определится из соотношения (2.5) после подстановки в него w = w_кон при t = t_п:

t_п = J_S(w_кон - w_нач )/ (М₁ - М_с). (2.6)

Аналогично можно получить характер и закономерности движения вала двигателя в случае скачкообразного снижения момента двигателя до М(w ) = М₁< М_с, а также в случае активного момента сил сопротивления_. В соотношениях (2.5), (2.6) следует лишь правильно учесть знак динамического момента М_дин (w)< 0 и направление изменения скорости (w_кон < w_нач ).

 

Движение электропривода при линейных зависимостях М(w) и М_с(w). Пусть механическая характеристика двигателя М(w) и реактивный момент М_с(w) сил сопротивления нагрузки имеют вид, представленный на рис. 2.7, а. Уравнения линейных механических характеристик двигателя и нагрузки могут быть соответственно определены как [16]

М = М_к.з - bw ; М_с = М_с0 + b_сw , (2.7)

где М_к.з и М_с0 - соответственно момент короткого замыкания двигателя и момент сил сопротивления нагрузки при w = 0; b = dМ / dw < 0 - жесткость механической характеристики двигателя; b_с = dМ_с / dw > 0 - жесткость механической характеристики нагрузки.

Определяя в (2.3) значения М и М_с в соответствии с (2.7), получим

J_S dw/ dt + (b+ b_с)w = М_к.з - М_с0. (2.8)

Поделив (2.8) почленно на (b + b_с), получим после ряда преобразований линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка

Т_м dw/ dt + w = w_уст, (2.9)

Здесь Т_м = J_S /(b + b_с) - электромеханическая постоянная времени двигателя, с; w_уст = (М_к.з - М_с0)/ (b+ b_с) - установившаяся скорость движения вала двигателя ( соответствует точке 1 пересечения механических характеристик на рис. 2.7).

Общее решение уравнения (2.9) относительно скорости даст

w = (w _нач - w _уст ) е ^-t/Тм + w _уст. (2.10)

Поскольку скорость и момент двигателя связаны между собой линейно, то аналогично уравнению (2.10) закон изменения момента будет:

М = (М _нач - М _уст ) е ^-t/Тм + М _уст. (2.11)

Соотношения (2.10), (2.11) позволяют определить время t_{п, i} изменения скорости или момента от их начальных до каких либо текущих значений w _i или М _i:

(2.12)

На рис. 2.7,б,в в соответствии с уравнениями (2.10), (2.11) приведен экспоненциальный характер изменений скорости и момента двигателя во времени. Их конечные значения w _кон и М _кон стремятся к установившимся значениям w _уст =w _с и М _уст = М_с, соответствующих статическому режиму работы двигателя. Теоретически, при подстановки в (2.10), (2.11) w _i = w _уст или М _i = М _уст , время достижения установившегося движения вала двигателя t_{п, i} будет равно бесконечности. Действительно, если в начальный момент движения динамический момент на валу двигателя был наибольшим и, соответственно, наибольшим был темп изменения скорости движения, то по мере снижения М_дин с ростом скорости темп ее изменения заметно падает, стремясь к нулю при нулевом уровне М_дин. Практически за условное время t_п окончания переходного процесса принимается время, за которое текущее значение координаты движения изменится на 95% ...98% ее установившегося значения. Подставляя в (2.12) значения w _i = (0,95 ...0,98) w _уст, получим t_п = (3...4) Т_м.

Электромеханическая постоянная времени Т_м, отражая как механические (J), так и электрические (b) свойства электропривода, имеет вполне определенный физический смысл. Для его выяснения рассмотрим процесс разгона двигателя с линейной механической характеристикой 1 на рис. 2.8, а при отсутствии сил сопротивления на его валу (М_с = 0). Учитывая начальные (w_нач = 0, М_нач = М_к.з) и конечные (w_кон = w_уст = w_с = w₀ , М_кон = М _уст = 0) значения координат привода, а так же соотношение (2.10) получим

 

w = w₀ (1 - е ^-t/Тм ), (2.13)

где Т_м = J_S /b = J_SDw/ DМ = J_Sw_0/ М_к.з ; w_{0 -} скорость идеального холостого хода двигателя ( при М_с = 0).

Характер изменения скорости двигателя по (2.13) показан на рис. 2.8,б экспоненциальной кривой 1. Пересечение касательной 2 к кривой 1 в начале координат и линии w ₀ = const на рис. 2.8,б даст отрезок времени, равный Т_м. Действительно, касательная 2 соответствует линии разгона двигателя, имеющего механическую характеристику 2 на рис. 2.8, а, под действием постоянного динамического момента М_дин = М _нач = М_к.з . При этом время достижения скорости w_уст = w₀ в соответствии с (2.6) определится как t_п = J_S w ₀ / М_к.з = Т_м. Таким образом, электромеханическая постоянная времени Т_м представляет собой время, в течение которого привод с неизменным моментом инерции разогнался бы вхолостую (при М_с = 0) от w _нач = 0 до w_уст = w₀ под действием постоянного динамического момента, равного М_к.з. При t_{п, i} =Т_м скорость достигнет значения 0,63w ₀ ( рис. 2.8).

При линейном законе М_дин (w) соотношения (2.10) ...(2.12) могут быть использованы при оценки характера движения привода в случае любых линейных изменений его механических характеристик

Движение электропривода при произвольной зависимости М_дин (w ).

Для нелинейных механических характеристик двигателя или рабочего органа, когда динамический момент является нелинейной функцией скорости, времени или положения, точное аналитическое определение закона движения электропривода связано с интегрированием уравнения (2.3) и возможно лишь при известных математических зависимостях моментов от этих параметров. При отсутствии этих зависимостей или их сложности, когда механические характеристики заданы графически или в виде таблиц, используют методы численного интегрирования уравнения движения, например, метод Эйлера. Применительно к уравнению движения (2.3) метод связан с заменой бесконечно малых приращений скорости dw и времени dt малыми конечными приращениями Dw_i и Dt_i. В этих пределах текущие значения моментов двигателя М(w) и сил сопротивления М_с(w) заменяются их средними М_ср.i и М_{с.ср. i} постоянными значениями для каждого i -го интервала изменения скорости. При этом уравнение движения (2.3) будет иметь вид

М_ср.i - М_{с.ср. i} = М_{дин. ср.i} = J_S Dw _i /Dt_i . (2.14)

Значения М_ср.i и М_{с.ср. i} находятся графически (или из таблиц) аппроксимацией отдельных участков механических характеристик двигателя и рабочего органа прямыми линиями.

Рассмотрим применение метода на примере пуска асинхронного короткозамкнутого двигателя ( механическая характеристика М(w)) для привода вентилятора с механической характеристикой М_с(w) ( рис. 2.9,а ). Определение зависимостей w (t) и М (t) начинается с этапа разбиения оси скорости механических характеристик на ряд интервалов (приращений) Dw _i = w _i - w _{i- 1.} Интервалы могут быть как одинаковыми, так и различными. Последний i = n интервал соответствует достижению установившейся скорости движения. На каждом выбранном интервале скорости по механическим характеристикам (рис. 2.9,а) определяются текущие значения М _i, М _{i- 1} момента двигателя и М_с.i, М_{с. i- 1} рабочего органа ( вентилятора), а затем их средние значения: М_ср.i = (М _i + М _{i- 1})/ 2 и М_с.ср.i = (М_с.i + М_{с. i- 1}) / 2. Подстановкой расчетных М_ср.i , М_с.ср.i и выбранных значений Dw _i в соотношение (2.14), определяется интервал времени Dt_i = J_S Dw_i / М_ср.i - М_{с.ср. ,} за который двигатель равноускоренно изменит скорость от w _{i- 1} до w _i под действием постоянного динамического момента М_{дин. ср.i} = М_ср.i - М_{с.ср. i} . Сложение рассчитанных для каждого i - го приращения скорости интервалов времени даст текущее время переходного процесса. Сопоставляя для каждого i -го интервала времени значения скоростей w_{i ,} строится зависимость w(t) (рис. 2.9, б). Зная w(t) и определив из механической характеристики двигателя для каждого значения скорости соответствующие значения момента, строят зависимость М(t) (рис. 2.9, в).