Символический метод расчета (метод комплексных амплитуд)
Символический метод расчета (метод комплексных амплитуд) - раздел Электротехника, Электрические цепи. Элементы электрических цепей Параметрический Метод Расчета Цепей Синусоидального Тока Применим Только Либо...
параметрический метод расчета цепей синусоидального тока применим только либо к последовательному соединению элементов r, L, c либо к параллельному соединению этих элементов. В более сложных цепях, например при смешанном соединении используется символический метод расчета, сущность которого заключается в представлении синусоидального процесса мнимой частью комплексного числа. Поставим в соответствие синусоидальной функции оригиналу комплексную функцию изображения. Umsin(wt+j) Þ
Um e(j(wt+j)) Запись соответствия: Umsin(wt+j) ¸ Um e(j(wt+j)) где j=Ö(-1)
Umsin(wt+j) ¸ Um e(j(wt+j)) = Um ejj ejwt = Um ejwt (1) U=Um/Ö2 – комплексное действующее значение. Представим функцию изображения в тригонометрической форме:
Um e(j(wt+j))= Umscos(wt+j) + jUmsin(wt+j) Т.о. синусоидальная функция оригинала является мнимой частью комплексной функции изображения. Umsin(wt+j)=Im[Um e(jwt)] (2)
Геометрическая интерпретация этого преобразования: Комплексную функцию изображения Um e(j(wt+j)) можно представить как вектор, вращающийся в комплексной плоскости со скоростью w. Комплексная амплитуда Ume(jj)определяет положение вектора в момент t=0. Множитель e(jwt) является оператором вращения. Умножение Um e(jwt) означает поворот вектора Um на угол wt в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки. (рис.23)
Функция оригинал . Umsin(wt+j) представляет собой проекцию на ось мнимых этого вращающегося вектора. Рассмотрим частный случай: wt=p/2 ,тогда e(jwt)=e(jp/2)=cos(p/2)+jsin(p/2)=j wt=-p/2 ,тогда e(jwt)=e(-jp/2)=cos(-p/2)+jsin(-p/2)=-j
Методика использования символического метода (методика анализа цепей с помощью символического метода)
1. Всем синусоидальным токам, напряжениям и ЭДС ставятся в соответствие изображающие комплексные функции в соответствии с представлением (1).
2. Дальнейший анализ производится в пространстве изображений т.е. с комплексными числами по известным законам электрических цепей.
3. В результате анализа находим комплексную амплитуду интересующей нас величины.
4. По полученной комплексной амплитуде Um находим синусоидальную функцию оригинал в соответствии с представлением (2)
Если в процессе преобразований вещественная и мнимая части комплексных чисел преобразуются независимо одна от другой, то окончательный результат действительно выражается мнимой частью полученного комплексного числа в соответствии с представлением (2). Такие операции являются линейными.
ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ. СОПРОТИВЛЕНИЕ
Сопротивление –это идеализированный элемент цепи, характеризующий потери энергии на нагрев, численно равный r=u/i, где u,i – это мгновенные значения напряжения и тока. [r]=Oм Реаль
Цепи однофазного синусоидального тока.
В таких цепях мгновенные значения всех ЭДС, токов и напряжений являются синусоидальными формулами времени с одной частотой u=Um sin(wt+y)=Um sin((2p/T)t+y)
Um - амплитуда напряжения (max з
Синусоидальный ток в сопротивлении.
Если к действующему значению u=Umsinwt подвести, то ток будет равен: i=u/r=(Um/r)sinwt=Imsinwt (1) Из выражения (1) следует:
1. Ток и напряжение находятся в фазе (имеют одинаковые фазы)
Синусоидальный ток в индуктивности.
Допустим, что через индуктивность протекает синусоидальный ток i=Im sinwt напряжение на индуктивности равно: u=L(di/dt)=wLim coswt=Um=Um sin(wt+p/2) (2)
Из выражения (2) следует:
Синусоидальный ток в емкости.
Пусть к емкости приложено напряжение U=Umsinwt ток через емкость равен i=c(dU/dt)=wcUmcoswt=Imsin(wt+p/2) (3) (ток через емкость опережает напряжение на емкости на p/2 )
максимум тока на г
Резонанс напряжения
–это такой режим цепи, состоящей из последовательного соединения элементов r, L, c при котором угол сдвигов фаз между током цепи и напряжением на зажимах цепи равен нулю. j =arctg(
Параллельное соединение элементов r, L, c.
(рис.19)Пусть к цепи приложено синусоидальное напряжение U=Umsinwt при этом ток i также синусоидален и равен i=Imsin(wt-j). Величины Im и j - являются предметом анализа.
П
Резонанс тока.
4. Резонанс тока – это такой режим цепи, состоящей из параллельного соединения r, L, c, при котором фазовый сдвиг между напряжением на зажимах U цепи и выходным током цепи I равен нулю. tgj=b/g=(1/
Последовательное соединение элементов r, L, c .
Пусть в цепи протекает ток (рис.24): i=Imsinwt, напряжение в цепи также синусоидально:
U=Umsin(wt+j) Поставим в соответствие синусоидальным функциям комплексные функции из
Законы Кирхгофа в комплексной форме.
По 1-му закону Кирхгофа имеем:åik=0 (3) В выражении (3) ik=(Im)ksin(wt+jk) (4)
Поставим в соответствие синусоидальной функции (4) комплексную функцию: ik=(Im)ksin(wt+jk)¸(Im)k
Мощность в цепи переменного тока.
Рассмотрим произвольный участок цепи, напряжение на зажимах которого равно: U=Umsinwt
А ток равен: i=Imsin(wt-j) Мгновенная мощность равна: P=ui=UmImsinwtsin(wt-j)=UmIm/2[cosj-cos(2wt-j)]=
Смешанное соединение
Многоконтурные схемы, имеющие смешанное соединение приводятся к одноконтурной схеме путем последовательной замены параллельных ветвей одной ветвью и последовательно соединенных участков одним участ
Индуктивно связанные цепи.
Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из двух катушек, намотанных на один сердечник.(рис.34) Положительное направление тока и создаваемого им потока связаны правилом правого вин
Полярности индуктивно связанных катушек. ЭДС взаимоиндукции.
В последних равенствах члены Mi2 и Mi1 берутся со знаком плюс в том случае, если токи i1 i2 направлены согласно, т.е. когда создаваемые ими потоки совпадают, например как показано на рисунке. Чтобы
Последовательное соединение катушек.
Согласное соединение катушек (рис.36)
R1 и r2 -активные сопротивления катушек L1 и L2 -их индуктивности.
При согласном включении катушек токи в них направлены сог
Расчет индуктивносвязанных цепей символическим методом.
eM=-Mdi/dt Поставим в соответствие синусоидальным величинам eM iM комплексные функции: eM=(EM)msin(wt -j)¸(EM)m e(j(wt+j))=(EM)m e(jwt)
i=Imsin(wt +y)¸Im e(j(wt+y))=Im e(jwt) (
Законы коммутации и начальные условия.
Запишем выражения энергии магнитного поля, накопленной в индуктивности и энергии магнитного поля, накопленной в емкости: Wм=L(iL)2/2 We=C(Uc)2/2
Допустим, что ток в индуктивности и напряже
Включение в цепь r c постоянной ЭДС.
Пусть e(t)=E=const это очевидно из физического выражения и непосредственно вытекает из уравнения (1). Uc=E+Ae(-t/(rc)) (2) постоянную интегрирования А найдем на основании 2-го закона коммутации. Uc
Включение в цепь r, L, c постоянного ЭДС.
e(t)=E=const При этом уравнение (1) принимает вид: Ld2L/dt2+rdi/dt+i/c=0 Þ iпр=0
i=iсв=A1e(l1t)+A2e(l2t) (2) Для нахождения А1 и А2 необходимо определить значение тока и производной
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов