Пункт 5.2 Метод электростатических изображений.

Пример:

Точечный заряд +q находится на расстоянии h от плоской поверхности незаряженного полубесконечного проводника (одно полупространство занимает проводник, в другом находится вакуум и точечный заряд). Нужно найти , индуцированного на проводнике. r – расстояние от основания перпендикуляра , опущенного на плоскость из заряда q, до точки, в которой определяем .

Вообще вся поверхность проводника будет заряжена отрицательно, т.к. наш точечный заряд заряжен положительно. Возникнет некая функция распределения . Вблизи поверхности проводника выделим две позиции: А и В, и будем рассматривать поле в этих точках.

Поле будет создаваться как точечным зарядом +q, так и зарядами, индуцированными на поверхности проводника. Поле в точке А, как было установлено ранее, будет направлено к поверхности проводника (она заряжена отрицательно). Рассмотрим составляющие этого поля и . Как направлено мы знаем, очевидно, будет направлено так, чтобы в сумме с давать . Аналогичные рассуждения проделываем для точки B, учитывая, что полное поле в этой точке = 0 и то, что . Тогда мы можем найти поле, созданное в точке наблюдения только электронами, находящимися на поверхности проводника.

 

 

 

Введем угол , тогда мы можем записать следующее

Поскольку – поле созданное точечным источником на известном расстоянии, то мы можем записать

. Если мы полученные выражения подставим в первое, то

- вот такой вид имеет поле в точке , напомним, что поле в точке равно нулю.

 

Теперь для того, чтобы найти поверхностную плотность заряда в том месте, где расположены точки и, мы можем рассмотреть гауссову поверхность (см. рисунок). Цилиндрик этот достаточно мало протяженный по горизонту, так, чтобы почувствовать локальную плотность зарядов. А верхняя и нижняя крышка должны быть тоже очень близко к той поверхности, которую мы рассматриваем, в соответствии с теми позициями, которые были приняты при нахождении полей.

 

Теорема Гаусса, записываемая для этого цилиндрика, с учетом того, что в нее входит внешняя нормаль, а поле в точке направлено вниз, на боковых гранях потоки равны нулю, на дне тоже, потому что там поля нет, так что ненулевой поток будет даваться только потоком через крышку. Поэтому теорема Гаусса, если мы площадь поверхности верхней крышки обозначим буквой , будет записана в виде:

после сокращения окончательно мы получаем:

Теперь решим еще одну задачу в рамках этого же примера.

 

 

 

Найдем величину силы притяжения, действующей на заряд со стороны заряда, индуцированного на поверхности.

Понятно, что сила, которую мы ищем, может быть найдена как произведение модуля заряда на напряженность поля отрицательно заряженной плоскости:

.

Что касается поля , то его можно найти, так как закон, распределения заряда по поверхности проводника нам известен. Видно, что эта функция обладает осевой симметрией, то есть, во всех точках, удаленных от основания перпендикуляра на равное расстояние поверхностная плотность одна и та же, поэтому довольно естественно разделить поверхность на вложенные кольца и найти интересующее нас поле как сумму этих полей:

Здесь мы просто обратимся к задаче, которая уже решалась:

- вот такая формула для поля, созданного кольцом.

- заряд вот такого кольца, где-площадь кольца,

После интегрирования по всей поверхности получим:

.

Если посмотреть на эту формулу, то нетрудно увидеть, что точно по такой же формуле вычисляется сила взаимодействия двух точечных зарядов , удаленных друг от друга на расстояние .

 

 

На рисунке приближенно изображены силовые линии нашего заряда в оригинале и с использованием метода изображений. Обратим внимание, что в верхней половине картинки совпадают, а нижние, конечно же, нет.

В заключение можно написать следующие слова: замена реальных индуцированных зарядов, распределенных с поверхностной плотностью зарядом-изображением , сохраняет конфигурацию поля в области, где расположен заряд . В этом состоит суть метода электростатических изображений. То есть, в том, чтобы заменить реальное довольно сложное расположение зарядов на придуманное, но такое, чтобы поле в области получилось точно такое же, как в исходной задаче.

Метод – это все-таки последовательность действий, с помощью которой можно решить несколько задач, так что то, что мы тут разобрали, сложно охарактеризовать как метод ввиду малости количества решенных задач.

 

См. ЭКСПЕРИМЕНТ

Эквипотенциальность проводника

Распределение зарядов

Электростатическая защита

Метод зеркальных изображений