Электрическая энергия системы зарядов

1. Сначала рассмотрим систему, состоящую из двух точечных зарядов 1 и 2. Найдем алгебраическую сумму элементар­ных работ сил f₁ и F₂, с которыми эти заряды взаимодействуют. Пусть в некоторой K-системе отсчета за время dt заряды совершили перемещения dl₁ и dl₂. Тогда работа этих сил δА_1,2 = F₁dl₁ +F₂dl₂. Учитывая, что F₂ = -F_l (по третьему закону Ньютона): δА_1,2 = F₁(dl₁ - dl₂). Величина в скобках — это перемещение заряда 1 относительно заряда 2. Точнее, это есть перемещение заряда 1 в K'-системе отсчета, жестко связанной с зарядом 2 и перемещающейся вместе с ним поступательно по отношению к исходной K-системе. Действительно, перемещение dl₁ заряда 1 в K-системе мо­жет быть представлено как перемещение dl₂ K'-системы плюс перемещение dl₁ заряда 1 относительно этой K'-системы: dl₁ = dl₂ + dl₁. Отсюда dl₁ -dl₂ = dl`<sub>1</sub> и δА<sub>1,2</sub> = F<sub>1</sub>dl`₁. Работа δA1,2 не зависит от выбора исходной K-системы отсчета. Сила F₁ действующая на заряд 1 со стороны заряда 2, консервативна (как сила центральная). Поэтому работа данной силы на перемещении dl`₁ может быть представлена как убыль потенциальной энергии заряда 1 в поле заряда 2 или как убыль потенциальной энергии взаимодействия этой пары зарядов: δА_1,2 = -dW_1,2, где W12 — величина, зависящая только от расстояния между данными зарядами.

2. Перейдем к системе из трех точечных зарядов (полученный для этого случая результат легко будет обобщить на систему из произвольного числа зарядов). Работа, которую совершают все силы взаимодействия при элементарных перемещениях всех зарядов, может быть представлена как сумма работ всех трех пар взаимодействий, т. е. δА = δA_1,2 + δA_1,3 + δА_2,3. Но для каждой пары взаимодействий δA_i,k = -dW_ik, поэтому δА = -d(W₁₂ + W₁₃ +W₂₃)=-dW, где W - энергия взаимодействия данной системы зарядов, W = W₁₂ + W₁₃ +W₂₃. Каждое слагаемое этой суммы зависит от расстояния между соответствующими зарядами, поэтому энергия W данной системы зарядов есть функция ее конфигурации. Подобные рассуждения справедливы и для системы из любого числа зарядов. Значит, можно утверждать, что каждой конфигурации произвольной системы зарядов присуще свое значение энергии W, и δА = -dW.

Энергия взаимодействия. Рассмотрим систему из трех точечных зарядов, для которой показано, что W = W₁₂ + W₁₃ + W₂₃. Представим каждое слагаемое W_ik в симметричном виде: W_ik = (W_ik + W_ki)/2, поскольку W_ik = W_ki. Тогда W = (W₁₂ + W₂₁ + W₁₃ + W_3l + W₂₃ + W₃₂)/2. Сгруппируем члены: W=[( W₁₂+W₁₃) + (W₂₁+W₂₃) + (W_3l+W₃₂)]/2. Каждая сумма в круглых скобках — это энергия Wi взаимодействия i-гo заряда с остальными зарядами. Поэтому:

Имея в виду, что W_i = q_iφ_i, где q_i — i-й заряд системы; φ_i -потенциал, создаваемый в месте нахождения i-ro заряда всеми остальными зарядами системы, получим окончательное выражение для энергии взаимодействия системы точечных зарядов:

(4.3)

Полная энергия взаимодействия. Если заряды распределены непрерывно, то, разлагая систему зарядов на совокупность элементарных зарядов dq = ρdV и переходя от суммирования в (4.3) к интегрированию, получаем

(4.4), где φ - потенциал, создаваемый всеми зарядами системы в элементе объемом dV. Аналогичное выражение можно записать для распределения зарядов по поверхности, заменив ρ на σ и dV на dS. Пусть система состоит из двух шаров, имеющих заряды q₁ и q₂. Расстояние между шарами значительно больше их размеров поэтому заряды q_l и q₂ можно считать точечными. Найти энергию W данной системы с помощью обеих формул. Согласно формуле (4.3),где φ₁ — потенциал, создаваемый зарядом q₂ в месте нахожде­ния заряда q₁, аналогичный смысл имеет и потенциал φ₂. Согласно же формуле (4.4) нужно разбить заряд каждо­го шарика на бесконечно малые элементы ρdV и каждый из них умножить на потенциал φ, создаваемый не только зарядами другого шарика, но и элементами заряда этого шарика. Тогда: W = W₁ + W₂ + W₁₂(4.5), где W₁ — энергия взаимодействия друг с другом элементов за­ряда первого шарика; W₂ — то же, но для второго шарика; W₁₂ — энергия взаимодействия элементов заряда первого ша­рика с элементами заряда второго шарика. Энергии W₁ и W₂ называют собственными энергиями зарядов q₁ и q₂, a W₁₂ -энергией взаимодействия заряда q₁ с зарядом q₂.

Энергия уединенного проводника. Пусть проводник имеет заряд q и потенциал φ. Поскольку значение φ во всех точках, где имеется заряд, одинаково, φ можно вынести из-под знака интеграла в формуле (4.4). Тогда оставшийся интеграл есть не что иное, как заряд q на проводнике, и W=qφ/2=Cφ²/2=q²/2C (4.6).(C учетом того, что С = q/φ).

Энергия конденсатора. Пусть q и φ — заряд и потенциал положительно заряженной обкладки конденсатора. Согласно формуле (4.4) интеграл можно разбить на две части — для одной и другой обкладок. Тогда

W = (q₊ φ₊–q_{_} φ_)/2. Т. к. q_ = –q₊ , то W = q₊ (φ₊–φ_)/2 = qU/2, где q=q₊ — заряд конденсатора, U — разность потенциалов на обкладках. С=q/U => W= qU/2=CU²/2=q²/2C(4.7). Рассмотрим процесс зарядки конденсатора как перенос заряда малыми порциями dq' с одной обкладки на другую. Элементарная работа, совершенная нами при этом против сил поля, запишется как дА=U’dq’=(q’/C)dq’, где U’ - разность потенциалов между обкладками в момент, когда переносится очередная порция заряда dq'. Проинтегрировав это выражение по q' от 0 до q, получим А = q²/2C, что совпадает с выражением для полной энергии конденсатора. Кроме того, полученное выражение для работы А справедливо и в том случае, когда между обкладками конденсатора имеется произвольный диэлектрик. Это относится и к формулам (4.6).