Основные законы магнитного поля в вакууме

Основные законы магнитного поля в вакууме (интегральная и дифференциальная форма)

Теорема о циркуляции вектора В(для магнитного поля постоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произвольному контуру Г равна произведению… ∫Вdl=μ0I(**) где I=∑Ik , причем Ik — величины алгебраические.… Если ток I в (**) распределен по объ­ему, где расположен контур Г, то его можно представить как I = ∫jdS.…

Закон Ампера. Сила, действующая на контур с током. Момент сил, действ контур с током. Работа при перемещении контура с током.

Формулы (*) и (**) выражают закон Ампера. Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу,… Сила, действующая на контур с током. Результирующая амперова сила, которая… М=0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если pm↓↑В, то тоже М=0, но такое…

Поле в магнетике. Механизм намагничения. Намагниченность. Токи намагничивания. Циркуляция вектора J (с доказательством) (интегральная и дифференциальная форма).

Поле в магнетике.Если в магнитное поле ввести то или иное вещество, поле изменится. Это объясняется тем, что всякое вещество является магнетиком, т. е. способно под действием магнитного поля намагничиваться— приобретать магнитный момент. Намагниченное вещество создает свое магнитное поле В', которое вместе с первичным полем В₀,обусловленным токами проводимости, образует результирующее поле В = В₀ + В'.(*) Здесь под В' и В₀ имеются в виду поля, усредненные по физически бесконечно малому объему. Поле В', как и поле В₀токов проводимости, не имеет источ­ников (магнитных зарядов), поэтому для результирующего ноля При наличии магнетика справедлива теорема Гаусса: ∫BdS=0.(**)Это означает, что линии вектора В и при наличии вещества остаются всюду непрерывными.

Механизм намагничения. Молекулы многих веществ обладают собственным магнитным моментом, обусловленным внутренним движением зарядов. Каждому магнитному моменту соответствует элементарный круговой ток, создающий в окружающем пространстве магнитное поле. При отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты молекул ориентированы беспорядочно, поэтому обусловленное ими результирующее магнитное поле равно нулю. Равен нулю и суммарный магнитный момент вещест­ва. Последнее относится и к тем веществам, молекулы которых при отсутствии внешнего поля не имеют магнитных моментов. Если же вещество поместить во внешнее магнитное поле, то под действием этого поля магнитные моменты молекул приобретают преимущественную ориентацию в одном направлении, и вещество намагничивается — его суммарный магнитный мо­мент становится отличным от нуля. При этом магнитные поля отдельных молекул уже не компенсируют друг друга, в резуль­тате возникает поле В'. Иначе происходит намагничивание веществ, молекулы которых при отсутствии внешнего поля не имеют магнитного момента. Внесение таких веществ во внешнее поле индуцирует элементарные круговые токи в молекулах, и молекулы, а вместе с ними и все вещество приобретают магнитный момент, что также приводит к возникновению поля В'.

Намагниченность. Степень намагничения характеризуют магнитным моментом единицы объема. Эту величину называют намагниченностью и обозначают J. По определению J=1/ΔVΣpm(***) где ΔV-физически бесконечно малый объем в окрестности данной точки, р_m — магнитный момент отдельной молекулы. Суммирование проводится по всем молекулам в объеме ΔF. Намагниченность можно представить как J = n(Pm>,(****) где п — концентрация молекул; <р_m> — средний магнитный момент одной молекулы. Вектор J сонаправлен именно со средним вектором <р_m>.Если во всех точках вещества вектор J одинаков, говорят, что вещество намагничено однородно.

Токи намагничивания Г. Намагничивание вещества обусловлено индуцированием магнитных моментов отдельных молекул в одном направлении. Это же можно сказать и об элементарных круговых токах, связанных с каждой молекулой (молекулярных токах). Такое поведение молекулярных токов приводит к появлению микроскопических токов I', называемых токами намагничивания. При этом говорят о линейной i’ и поверхностной j’ плотностях тока, i' (А/м) и j (А/м²)Для стационарного случая циркуляция намагниченности J по произволь­ному контуру Г равна алгебраической сумме токов намагничи­вания I', охватываемых контуром Г: ∫Jdl=I’(*****) гдеI'=∫j'dS, причем интегрирование проводится по произвольной поверхности, натянутой на контур Г. Д–во: вычислим алгебраическую сумму молекулярных токов, охватываемых контуром Г. Натянем на контур Г произвольную поверхность S. Одни молекулярные токи пересекают поверхность S дважды — раз в одном направлении, второй раз в другом – они не вносят никакого вклада в результирующий ток намагничивания через поверхность S. Но те молекулярные токи, которые обвиваются вокруг контура Г, пересекают поверхность S только один раз – они и создают макроскопический ток намагничивания I', пронизывающий поверхность S. Пусть каждый молекулярный ток равен I_м и площадь, охватываемая им, S_M. Тогда, как видно из рис. 7.4, элемент dl контура Г обвивают те молекулярные токи, центры которых попадают внутрь косого цилиндрика с объемом dV = S_M cos α dl, где α- угол между элементом dl контура и направлением век-гора J в данном месте. Все эти молекулярные токи пересекают поверхность S один раз, и их вклад в ток намагничивания dl' = I_м п dV, где п — концентрация молекул. Подставив выражение для dV, получим dI' = I_MS_Mn cos α dl = Jcos α dZ = Jdl; (I_MS_M = р_м — магнитный момент отдельного молекулярного тока, а произведение I_M-S_Mn -- магнитный момент единицы объема вещества). Проинтегрировав полученное выражение по всему контуру Г, получим (*****).

Дифференциальная форма ур-ия (*****)ÑхJ=j’,Т.е ротор намагниченности J равен плотности тока намагничивания в той же точке пространства.

21.Т–ма о циркуляции вектора H Связь между векторами J и Н, В и H. Условие, при котором внутри магнетика j'=0.

В магнетиках, помещенных во внешнее магнитное поле, возникают токи намагничивания, поэтому циркуляция вектора В теперь будет определяться не только токами проводимости, но и токами намагничивания: ∫Bdl=μ0(I-I’) (1) где I и I' — токи проводимости и намагничивания, охватываемые заданным контуром Г. С током Г свя-оана циркуляция намагниченности: ∫Jdl=I’(2) Предполагая, что циркуляция векторов В и J берется по одному и тому же контуру Г, выразим I' в уравнении (1) по формуле (2), тогда:

∫(B/μ-J)dl=I(3) Величину, стоящую под интегралом в скобках, обозначают буквой Н. Итак, мы нашли некоторый вспомогательный вектор Н:H=B/μ-J(4) циркуляция которого по произвольному контуру Г равна алгебраической сумме токов проводимости I, охватываемых этим контуром: ∫Hdl=I(5) Эта формула выражает теорему о циркуляции вектора Н: циркуляция вектора Н по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром Из ф–лы (5) видно, что модуль вектора Н имеет раз­мерность силы тока, деленной на длину. В связи с этим едини­цей величины Н является ампер на метр (А/м)

Связь между векторами J и Н.Намагни­ченность J зависит от магнитной индукции В в данной точке вещества. Однако J принято связывать не с В, а с вектором Н. Мы ограничимся пока рассмотрением только таких магнети­ков, для которых зависимость между J и Н имеет линейный характер, а именно:J=χH,(6) где χ —магнитная восприимчивость, безразмерная величина, характерная для каждого данного магнетика Магнитная восприимчивость χ бывает как положительной, так и отрицательной. Соответственно магнетики, подчиняющиеся зависимости (6), подразделяют на парамагнетики (χ>0) и диамагнетики (χ<0). У парамагнетиков J↑↑Н, у диамагнетиков J↑↓Н

Связь между В и Н. Для магнетиков, которые подчиняются зависимости (6), выражение (4) принимает вид (1+χ)Н = В/. Отсюда В = μμ₀Н, где μ — магнитная проницаемость среды, μ = 1 + χ. У парамагнетиков μ>1, у диамагнетиков μ<1.

j' = 0. Токи намагничивания внутри магнетика будут отсутствовать, если: 1) магнетик однородный и 2) внутри него нет токов проводимости (j=0). В этом случае при любой форме магнетика и при любой конфигурации магнитного поля объемные токи намагничивания равны нулю и остаются только поверхностные токи намагничивания. Д–во: воспользуемся теоремой о циркуляции вектора J по произвольному контуру Г, взятому целиком внутри магнетика. В случае однородного магнетика можно, заменив J на χН, вынести в уравнении (∫Jdl=I’) χ из-под интерала и записать I’=χ∫Hdl. Оставшийся интеграл равен согласно (5) алгебраической сумме токов проводимости I, охватываемых контуром Г, поэтому для однородного магнетика I’ =χI.(7) Это соотношение между токами I’ к I справедливо для любого контура внутри магнетика, в частности и для очень малого контура, когда I’ → dI' = j’_ndS и I → dI = j_n dS. Тогда j'_ndS = χj_ndS, и после сокращения на dS мы получим j'_n = χj_n. Последнее ра­венство выполняется при любой ориентации малого контура, т. е. при любом направлении нормали n к нему. А это значит, что таким же равенством связаны и сами векторы j' и j: j’ =χj. Отсюда следует, что в неоднородном магнетике j'=0, если j=0.

23.Поле в однородном магнетике.

Рассмотрим случай, когда все пространство, где имеется поле В, заполнено однородным изотропным магнети­ком. Но прежде всего обратимся к явлениям, возникающим при протекании тока проводимости по однородному проводнику в вакууме. Т.к. каждый проводник является магнетиком, то в нем будут протекать и токи намагничивания — объемные согласно (j’=χj) и поверхностные. Возьмем контур, охватывающий наш проводник с током. По теореме о циркуляции вектора J (∫Jdl=I’), поскольку во всех точках контура J = 0, алгебраическая сумма токов намагничивания (объемных и поверхностных) равна нулю: I' = I'_о6 + I'_аов = 0. Отсюда 1'_об =-I,'_пов, т. е. объемные и поверхностные токи намагничивания равны и противоположны по направлению.

Т. о., можно утверждать, что в обычных случаях, когда токи текут по достаточно тонким проводам, магнитное поле в окружающем пространстве (в вакууме) зависит только от токов проводимости, ибо поля от токов намагничивания компенсируют друг друга. Теперь заполним окружающее проводник пространство однородным непроводящим магнетиком (пусть для конкретности χ> 0)- На границе этого магнетика с проводом появится поверхностный ток намагничивания I', имеющий, как нетрудно сообразить, то же направление, что и ток проводимости I (это при χ ^>0). В результате мы будем иметь ток проводимости I, объемный и поверхностный токи намагничивания в проводнике (магнитные поля этих токов компенсируют друг друга, поэтому их можно не учитывать в дальнейшем) и поверхностный ток намагничивания I' на непроводящем магнетике. При достаточно тонких проводах магнитное поле В в магнетике будет определяться как поле тока I + I’.

Т. о., задача сводится к нахождению тока I'. С этой целью окружим проводник контуром, расположенном в поверхностном слое непроводящего магнетика. Пусть плоскость контура перпендикулярна оси провода, т. е. токам намагничивания. Тогда, принимая во внимание (j’=J) и (J=χH), можно записать: I’=∫I’dl=∫Jdl=χ∫Hdl Отсюда согласно (7.12) следует, что I' = χl, Конфигурации тока намагничивания I' и тока проводимости I практически совпадают (провода тонкие), поэтому индукция B' поля токов намагничивания отличается от индукции В₀ поля токов проводимости во всех точках только по модулю и эти векторы связаны друг с другом так же, как и соответствующие гоки, а именно: В'=χВ₀.(1) Тогда результирующее поле В=В₀+В'=(1+χ) В₀, или В=μВ₀.(2) Это значит, что В при заполнении пространства однородным магнетиком возрастает в μ раз. Иначе говоря, величина μ показывает, во сколько раз увеличивается магнитная индукция В при заполнении магнетиком всего пространства, занимаемого полем. Если разделить обе части равенства (2) на μμ₀, то полу­чим Н=Н0(3) (в рассматриваемом случае поле Н оказывается таким же, как и в вакууме). Ф–ы (1)—(3) справедливы и в тех случаях, когда однородный магнетик заполняет весь объем, ограниченный поверхностями, которые образованы линиями вектора В₀ (поля тока проводимости). И в этих случаях магнитная индукция В внутри магнетика будет в и раз больше В₀. В указанных случаях магнитная индукция В' поля токов на­магничивания связана простым соотношением с намагниченно­стью J магнетика: В'= μ0J.(4) Это выражение можно легко получить из формулы В=В₀+В', если учесть, что В' = χВ₀ и В = μu₀, где Н = J/χ.