Основные законы магнитного поля в вакууме (интегральная и дифференциальная форма)

Теорема Гаусса для поля В. Поток вектора В сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю: ∫Вds=0 (*) Эта теорема выражает тот экспериментальный факт, что линии вектора В не имеют ни начала, ни конца. Поэтому число линий вектора В, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем. Отсюда вытекает следствие: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Закон (*) выражает что магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.

Теорема о циркуляции вектора В(для магнитного поля постоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произвольному контуру Г равна произведению μ₀ на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром Г:

∫Вdl=μ0I(**) где I=∑Ik , причем I_k — величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта. Это правило иллюстрирует рис.: здесь токи I1 и I3 положительные, ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта, а ток 1₂ отрицательный. Теорема о циркуляции (**) может быть доказана исходя из закона Био— Савара.

Если ток I в (**) распределен по объ­ему, где расположен контур Г, то его можно представить как I = ∫jdS. Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Г. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему. В общем случае уравнение (**) можно записать так: ∫Bdl=μ0∫jds=μ0∫jndS. (***)

Тот факт, что циркуляция вектора В не равна нулю, означает, что поле В не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным. Т. к. циркуляция вектора В пропорциональна току I, охватываемому контуром, то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором В соотношением, аналогичным Е = -Ñφ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное μ.₀I. В той области пространства, где токов нет,магнитный потенциал φ_m вводят и достаточно эффективно пользуют. Теорема Гаусса (*) для поля В в дифферениальной форме имеет вид Ñ*B=0,(****) т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают электрические токи. Закон (****) является фундаментальным: он справедлив не только для постоянных, но и для переменных магнитных полей.

Теорема о циркуляции вектора В в дифференциальной форме: Рассмотрим отношение циркуляции вектора В к площади S, ограниченной контуром. Это отношение стремится к некоторому пределу при S→0, причем зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориентация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта. Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную величину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot В. Т. о., lim∫Bdl/s = (rotB)_n,(*****)

s→0

где справа стоит проекция вектора rot В на нормаль n. В каждой точке векторного поля В имеется вектор rotВ, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rotВ определяется тем направлением нормали n к площадке S, при котором достигается максимальное значение величины (*****), являющееся одновременно модулем вектора rot В. Согласно (*****) уравнение (***) можно представить в виде lim∫Bdl/s = m0j_n,(*****)

s→0

или(ÑxВ)_л =m₀j_n . Отсюда ÑхB=m₀j

В электростатическом поле циркуляция вектора Е равна нулю, поэтому ÑxE=0. Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в противном случае поле явл. соленоидалъным. Магнитное поле — соленоидальное.