Поле в поверхности проводника

5.Поле в веществе: микро- и макрополе, влияние вещества на поле. Поле в поверхности проводника. Силы, действующие на поверхность проводника. Свойства проводящей оболочки. Общая задача электростатики. Метод изображений.

Микро- и макрополе.Истинное электрическое поле в любом веществе (микрополе) — меняется весьма рез­ко как в пространстве, так и во времени. Оно различно в раз­ных точках атомов и промежутках между ними. Чтобы найти напряженность Еистинного поля в некоторой точке в данный момент, нужно было бы сложить напряженности полей всех от­дельных заряженных частиц вещества — электронов и ядер, что совершенно нереально. Более того, для реше­ния макроскопических задач такое поле и вовсе не нужно. Для многих целей достаточно более простое и несравненно более грубое описание. Под электрическим полем Е в веществе — его называют макрополем — будем понимать пространственно усреднен­ное микрополе (после пространственного усреднения временное усреднение уже не требуется). Это усреднение проводится по так называемому физически бесконечно малому объему — объему, содержащему большое число атомов, но имеющему размеры во много раз меньше, чем те расстояния, на которых макрополе меняется заметно. Тогда поле в веществе: E=E_макро=<E_микро>.(2.1)

Влияние вещества на поле.Привнесении любого вещества в электрическое поле в веществе происходит смещение положи­тельных и отрицательных зарядов, что в свою очередь приводит к частичному разделению этих зарядов. В тех или иных местах вещества появляются нескомпенсированные заряды различного знака. Это явление называют элек­тростатической индукцией, апоявившиеся в результате раз­деления заряды — индуцированными зарядами. Эти заряды создают дополнительное электри­ческое поле, которое вместе со внешним электриче­ским полем образует результирующее поле. Зная внешнее поле и распределение индуцированных зарядов, можно при нахож­дении результирующего поля уже не обращать внимание на на­личие самого вещества. Т. о., результирующее поле при наличии вещест­ва определяется просто как суперпозиция внешнего поля и поля индуцированных зарядов.

Поле внутри и снаружи проводника. Внутри проводника Е=0. Поместим металлический провод­ник во внешнее электростатическое поле или сообщим ему ка­кой-нибудь заряд. В обоих случаях на все заряды проводника будет действовать электрическое поле, в результате чего все электроны сместятся против поля. Такое перемещение зарядов (ток) будет продолжаться до тех пор, пока не установится определенное распределение зарядов (практически мгновенно), при котором электрическое поле во всех точках внутри проводника обратится в нуль. Т. о., в статическом случае элект­рическое поле внутри проводника отсутствует (Е=0)=> плотность из­быточных (не скомпенсированных) зарядов внутри проводника также всюду равна нулю (r = 0). Действительно, так как внутри проводника Е = 0, то и поток вектора Е сквозь любую замкнутую поверх­ность внутри проводника также равен нулю. А это и значит, что внутри проводника избыточных зарядов нет. Избыточные заряды появляются лишь на поверхности про­водника. Отсутствие поля внутри проводника означает, что потенциал j в проводнике одинаков во всех его точ­ках, т. е. любой проводник в электростатическом поле пред­ставляет собой эквипотенциальную область. Его поверхность также является эквипотенциальной => непосредственно у этой поверхности поле Е на­правлено по нормали к ней в каждой точке. Если бы это было не так, то под действием касательной составляющей Е заряды пришли бы в движение по поверхности проводника, т. е. равно­весие зарядов было бы невозможным.

Поле у поверхности проводника.Пусть интересующий нас участок поверхности проводника граничит с вакуумом. Линии вектора Е перпендикулярны по­верхности проводника, поэтому в качестве замкнутой поверх­ности возьмем небольшой цилиндр (рис.2.3). Тогда поток вектора Е через эту поверх­ность будет равен только потоку через «на­ружный» торец цилиндра (потоки через боковую поверхность и внутренний торец равны нулю), и E_nDS = sDS/e₀, где E_n - проекция вектора Е на внешнюю нормаль n, DS — площадь сече­ния цилиндра, s — локальная поверхностная плотность заряда на проводнике. Сократив обе части этого равенства на DS, полу­чим E_nDS = sDS/e₀ (2.2) Если s> 0, то и E_n>0, т. е. вектор Е направлен от поверхно­сти проводника — совпадает по направлению с нормалью n; если же s<0, то Е_n<0 — вектор Е направлен к поверхности проводника. Напряженность Е опре­деляется всеми зарядами рассматриваемой системы, как и само значение s.

Силы, действующие на поверхность проводника. ] заряженный участок поверхности проводника граничит с вакуумом. На малый элемент DS повер­хности проводника действует сила ΔF=σΔSE₀.(2.3) где sDS—заряд этого элемента, Е₀ — напряженность поля, со­здаваемого всеми остальными зарядами системы в месте на­хождения заряда sDS. (Е₀ не равно на­пряженности Е поля вблизи данного элемента поверхности про­водника). Выразим Е₀через Е. Пусть Е_s — напряженность поля, создаваемого зарядом на площадке DS в точках, очень близких к этой площадке — здесь она ведет себя как бесконечная равномерно заряженная плос­кость. Тогда согласно Е_s = s/2e₀. Результирующее поле как внутри, так и вне проводника (вблизи площадки DS) является суперпозицией полей Е₀ и Е_s. По разные стороны площадки DS поле Е₀ практически одинаково, поле же Е_s имеет противополож­ные направления (рис. 2.4, где s > 0). Из усло­вия Е=0 в проводнике следует, что Е_s = E₀ ,тогда снаружи проводника у его поверхности Е = Е₀+ Е_s = 2E₀. Итак, Е₀ = Е/2, (2.4) Получим выражение для силы, действующей на единицу поверхности проводника: F_ед=σE/2 (2.6) Его можно переписать и в другой форме, ибо входящие в него величины s и Е являются взаимно связанны­ми. Согласно (2.2) Е_n = s/e₀ или Е = (s/e₀)n, где n - внешняя нормаль к элементу поверхности в данной точке проводника. Поэтому F_ед=σ²n/2ε₀=ε₀E²n/2 (2.7)где учтено, что s = e₀E_n и E_n²=E². Величину F_ед называют по­верхностной плотностью сил. Независимо от знака s, а зна­чит, и направления Е, сила F_ед всегда направлена, наружу проводника, стремясь его растянуть.

Свойства замкнутой проводящей оболочки.В состоянии равновесия избыточных за­рядов внутри проводника нет — вещество внутри проводника электрически нейтрально. Поэтому удаление вещества из неко­торого объема внутри проводника (создание замкнутой поло­сти) поля нигде не изменит, т. е. никак не отразится на равно­весном расположении зарядов. Т.о. избыточный за­ряд распределяется на проводнике с полостью так же, как и на сплошном — по его наружной поверхности. Если в полости нет электрических зарядов, электрическое поле в ней равно нулю. Внешние заряды не созда­ют в полости внутри проводника никакого электрического поля. Теперь обратимся к случаю, когда в полости есть электрический заряд q. Представим, что все внешнее пространство заполне­но проводящей средой. Поле в ней при равновесии равно нулю, значит, среда электрически нейтральна и не содержит нигде избыточных зарядов. Так как всюду в проводнике Е=0, то равным нулю будет и поток вектора Е сквозь замкнутую поверхность, окружающую полость. По теореме Гаусса это означает, что алгебраическая сумма зарядов внутри этой замкнутой поверхности также будет равна нулю. Таким образом, алгебраическая сумма индуциро­ванных зарядов на поверхности полости равна по модулю и противоположна по знаку алгебраической сумме зарядов внут­ри этой полости. При равновесии заряды, индуцированные на поверхности полости, располагаются так, чтобы полностью скомпенсировать снаружи полости поле зарядов, находящихся внутри полости. Поскольку проводящая среда внутри всюду электрически нейтральна, то она не оказывает никакого влияния на электри­ческое поле. Поэтому, если ее удалить, оставив только проводя­щую оболочку вокруг полости, от этого поле нигде не изменит­ся и вне оболочки оно останется равным нулю. Т. о., поле зарядов, окруженных проводящей обо­лочкой, и зарядов, индуцированных на поверхности полости (на внутренней поверхности оболочки), равно нулю во всем внешнем пространстве. Замкнутая проводящая оболочка разделяет все пространство на внутрен­нюю и внешнюю части, в электрическом отношении совершен­но не зависящие друг от друга.

Общая задача электростатики. Метод изображений.Очень часто приходится встречаться с задачами, в которых распределение зарядов неизвестно, но заданы потенциалы про­водников, их форма и относительное расположение. И требует­ся определить потенциал j(r) в любой точке поля между про­водниками. Зная j(r), можно легко восстано­вить само поле Е(г)и по значению Е непосредственно у поверхности проводников найти распределение поверхностных зарядов на них.

Уравнения Пуассона и Лапласа. Найдем дифференциальное урав­нение, которому должна удовлетворять функция j — потенциал. Е = -Ñj. В результате получим общее дифференциальное уравне­ние для потенциала — уравнение Пуассона: Ѳφ=–ρ/ε₀. (2.8)где Ѳ — оператор Лапласа (лапласиан). В декартовых координатах:

 

– скалярное произведение Ñ×Ñ. Если между проводниками нет зарядов (r = 0), то уравнение (2.8) переходит в более простое — уравнение Лапласа: Ѳφ=0 (2.9).Определение потенциала сводится к нахождению такой функции j, которая во всем пространстве между проводниками удовлетворяет уравнениям (2.8) или (2.9), а на поверхностях самих проводников принимает заданные значения j₁, j₂ и т. д. Эта задача имеет единственное решение. Если решение не одно, то будет не один потенциальный «рельеф», следовательно, в каждой точке поле Е неоднозначно. По теореме единственности можно также утверждать, что заряд на поверхности проводника в статическом случае распре­деляется тоже единственным образом. Действительно, между зарядами на проводнике и электрическим полем вблизи его по­верхности имеется однозначная связь: s = e₀Е_n => единственность поля Е определяет и един­ственность распределения заряда на поверхности проводника.

Метод изображений. Это искусственный метод, позволяю­щий в ряде случаев рассчитать элект­рическое поле достаточно просто. Рассмотрим точечный заряд q около безграничной проводящей плоскости (рис. а). Идея метода: мы должны найти дру­гую задачу, которая решается просто и решение которой или часть его может быть использовано. В данном случае такой про­стой задачей является задача с двумя зарядами q и -q. Поле этой системы известно (рис. б). Совместим со средней эквипотенциальной поверхностью (ее потенциал j=0) проводящую плоскость и уберем заряд -q. Со­гласно теореме единственности поле в верхнем полупространстве останется прежним. Действительно, на проводящей плоско­сти и всюду в бесконечности j = 0, точечный же заряд q можно рассматривать как предельный случай малого сферического проводника, радиус которого стремится к нулю, а потенциал — к бесконечности. Т. о., в верхнем полупространстве граничные условия для потенциала остались теми же, стало быть, тем же осталось и поле в этой области (рис. в). В рассматриваемом случае толе отлично от нуля толь­ко в верхнем полупространстве, и для вычисления этого поля достаточно ввести фиктивный заряд-изображение q' = -q, про­тивоположный по знаку заряду q, поместив его по другую сто­рону проводящей плоскости на таком же расстоянии от нее, что и заряд q. q' создает в верхнем полупростран­стве точно такое же поле, как и индуцированные заряды на плоскости.

Метод изображений по су­ществу основан на подгонке потенциала под граничные усло­вия: мы стараемся найти другую задачу, у которой конфигурация поля в интересующей нас части пространства была бы той же.

 

Электроемкость уединенного проводника. Конденсаторы. Емкости сферического и цилиндрического конденсаторов.

Конденсаторы.Если проводник не уединен, то его емкость будет существенно увеличиваться при приближении к нему других тел. Это обусловлено тем, что… Основной хар–кой конденсатора является его ем­кость. В отличие от емкости… Емкость конденсатора зависит от его геометрии (размеров и формы обкладок), от зазора между ними и от заполняющей…

Диэлектрики. Поляризация диэлектриков. Объемные и поверхностные связанные заряды. Поле в диэлектрике.

Поляризация. Под действием внешнего электрического поля происходит поляризация диэлектрика: Если диэлектрик состоит из неполярных моле­кул, то в… Объемные и поверхностные связанные заряды. В результате поляризации на… Заряды, которые не входят в состав молекул диэлектрика, называют сторонними.

Поляризованность. Связь между Р и Е. Сегнетоэлектрики.

(3.2) Вектор Р называют поляризованностью диэлектрика. Этот вектор равен дипольному мо­менту единицы объема вещества. Пусть в объеме DV содержится… Другое выражение для Р соответствует модели диэлектрика как совокупности… Связь между Р и Е.Как показывает опыт поляризованность Р зависит линейно от напряженности Е поля в диэлект­рике. Если…

Теорема Гаусса для вектора Р (интегральная и дифференциальная форма). Условие при которых в диэлектрике объемная плотность связанных зарядов равна нулю. Граничные условия для вектора Р.

Теорема Гаусса для поля вектора Р.Поток вектора Р сквозь про­извольную замкнутую поверхность S равен взятому с обратным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом поверхностью S, т. е.

(3.6) Это уравнение и выражает теорему Гаусса для вектора Р.

Доказательство.Пусть произвольная замкнутая по­верхность S охватывает часть диэлектрика (рис. 3.2, а, диэ­лектрик заштрихован). При включении внешнего электрического поля диэлектрик поля­ризуется — положительные заряды сместятся относите­льно отрицательных. Найдем заряд, который проходит че­рва элемент dS замкнутой поверхности S наружу (рис. 3.2, б). Пусть l₊ и l_ — векторы, характеризующие смещения поло­жительного и отрицательного связанных зарядов в результате поляризации. Тогда через элемент поверхности dS на­ружу поверхности S выйдет положительный заряд r'₊l₊dScosa, заключенный во «внутренней» части косого цилиндра (рис. 3.2, б). Кроме того, через элемент dS войдет внутрь поверхности S отрицательный заряд r'_l_dScosa, заключенный во «Внешней» части косого цилиндра. Но перенос отрицательного заряда в некотором направлении эквивалентен переносу положительного заряда в противоположном направле­нии. Учитывая это, можно записать суммарный связанный заряд, выходящий наружу поверхности S через элемент dS, как dq’=r₊l₊dScosa+|r'_|l_dScosa. Поскольку ïr'₊ï=r'₊: dq’=r₊(l₊l_)dScosa=ρ’+ldScosa. (3.7), где l = l₊ +l_ — расстояние, на которое сместились относитель­но друг друга положительные и отрицательные связанные заряды диэлектрика при поляризации. Далее, r'₊ l= Р и dq' = PdScosa, или dq'=P_ndS=PdS(3.8). Проинтегрировав это выражение по всей замкнутой поверх­ности S, мы найдем весь заряд, который вышел при поляриза­ции из объема, охватываемого поверхностью S, он равен . В результате внутри поверхности S останется некоторый избыточный связанный заряд q'. Вышедший заряд должен выть равен с обратным знаком оставшемуся внутри поверхности S избыточному связанному заряду, и мы приходим к (3.6).

Дифференциальная форма.Ñ×Р = –r', (3.9) т. е. дивергенция поля вектора Р равна с обратным знаком объемной плотности избыточного связанного заряда в той же точке. Это уравне­ние можно получить из (3.6) заменой Е на Р и r на r'.

Когда в диэлектрике r'=0? Объем­ная плотность избыточных связанных зарядов внутри диэлект­рика будет равна нулю при выполнении двух условий: 1) диэлектрик должен быть однородным; 2) внутри него не должно быть сторонних зарядов (r = 0). Действительно, из основного свойства поля вектора Р (3.6) следует, что в случае однородного диэлектрика можно, заменив Р на Àe_оE согласно (3.5), вынести À из-под знака интеграла и за­писатьÀ:

Оставшийся интеграл есть алгебраическая сумма всех зарядов — сторонних и связанных — внутри рас­сматриваемой замкнутой поверхности S, т. е. q + q'. Поэтому À(q + q') = -q', откуда q’=qÀ/(1+À) (3.10). Это соотношение между избыточным связанным зарядом q' и сторонним зарядом q справедливо для любого объема внутри диэлектрика, в частности и для физически бесконечно малого, когда q' - dq' = r'dV и q - dq = rdV. Тогда (3.10) после сокраще­ния на dV примет вид ρ’=ρÀ/(1+À) (3.11). Значит, в однородном диэлектрике r' = 0, если r = 0. Т. о., если в произвольное электрическое поле поместить однородный изотропный диэлектрик, при его поляризации появятся только поверхностные связанные заряды, объемные же избыточные связанные заряды во всех точках такого диэлектрика будут равны нулю.

Граничные условия для вектора Р. Рассмотрим поведение вектора Р на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков. У таких диэлектри­ков объемного избыточного связанного заряда нет и в результате поляризации появляется только поверхностный связанный заряд. Найдем связь между поляризованностью Р и поверхностной плотностью s' связанных зарядов на границе раздела диэлект­риков. Для этого воспользуемся свойством (3.6) поля вектора P.Возьмем в качестве замкнутой поверхности небольшой плоский цилиндр, торцы которого расположим по разные стороны, границы раздела (рис. 3.3). Высоту цилиндра будем предполагать ничтожно малой, а площадь DS каждого торца настолько малой, что во всех точках каждого торца цилиндра вектор Р выл бы одинаков (это же касается и поверхностной плотности s' связанного заряда). Пусть n — общая нормаль к границе раз­дели в данном месте. Условимся всегда проводить вектор n от диэлектрика 1 к диэлектрику 2. Пренебрегая потоком вектора Р сквозь боковую поверхность выбранного нами цилиндра, запишем согласно (3.6): P_2nDS+P_1n¢DS=–s¢DS,где P_2n и P_1n¢ - проекции вектора Р в диэлектрике 2 на нормаль n и в диэлектрике 1 на нормаль n' (рис. 3.3). Учитывая, что проекция вектора Р на нормаль n' равна с обратным знаком проекции этого вектора на противоположную (общую) нормаль n, т. е.

Р_{1 n¢}= -Р_{1 n} , перепишем предыдущее уравнение: P_2n–P_1n= –s¢. (3.12). Это значит, что на границе раздела диэлектриков нормаль­ная составляющая вектора Р испытывает разрыв, величина ко­торого зависит от s'. В частности, если среда 2 вакуум, то Р_2п = 0, и условие (3.12) приобретает более простой вид:

s ' = Р_n (3.13), где Р_п — проекция вектора Р на внешнюю нормаль к поверхно­сти данного диэлектрика. Знак проекции Р_п определяет и знак поверхностного связанного заряда s' в данном месте. Послед­нюю формулу можно представить в другом виде, а именно в со­ответствии с формулой (3.5) можно записать:

s '=À e₀ E_n (3.14), где Е_п — проекция вектора Е (внутри диэлектрика вблизи от его поверхности) на внешнюю нормаль. Здесь также знак Е_п определяет знак s '.

Теорема Гаусса для вектора D (интегральная и дифференциальная форма). Связь между векторами D и Е. Условия на границе раздела двух диэлектриков. Преломление линии. Условие на границе проводник - диэлектрик. Связанный заряд у поверхности проводника.

Теорема Гаусса для вектора D. Поскольку источника­ми поля Е являются все электрические заряды — сторонние и связанные, теорему Гаусса для поля Е можно записать так: (3.15) где q и q' — сторонние и связанные заряды, охватываемые по­верхностью S. Появление связанных зарядов q' усложняет дело, и формула (3.15) оказывается малополезной для нахождения поля Е в диэлектрике. Действительно, эта формула выражает свойства неизвестного поля Е через связанные заряды q', которые в свою оче­редь определяются неизвестным полем Е. Это затруднение можно обойти, если выразить за­ряд q' через поток вектора Р по формуле (3.6). Тогда выражение (8.15) можно преобразовать к такому виду: (3.16)Величину, стоящую под интегралом в скобках, обозначают буквой D. Итак вспомогательный вектор D:

D = e₀Е + Р (3.17), поток которого сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватывае­мых этой поверхностью: (3.1). Это и есть теорема Гаусса для поля вектора D. Вектор D представляет собой сумму двух совер­шенно различных величин: е₀Е и Р. Поэтому он не имеет глубокого физического смысла. Соотношения (3.17) и (3.18) справедливы для любого диэ­лектрика, как изотропного, так и анизотропного. Размерность вектора D та же, что и вектора Р. Единицей величины D служит кулон на квадратный метр (Кл/м²).

Дифференциальная форма уравнения:Ñ×D=r (3.19) т. е. дивергенция поля вектора D равна объемной плотности сторонне­го заряда в той же точке. Это уравнение можно получить из (3.18) заменив Е на Dи учесть лишь сторонние заряды. В тех точках, где дивергенция D положительна, мы имеем источ­ники поля D (r > 0), а в тех точках, где она отрицательна, — стоки поля D (r < 0).

Связь между векторами D и E.Вслучае изотропных диэлек­триков поляризованность Р = Àe₀Е. Подставив это соотношение в (3.17), получим D =e ₀(1 + À)Е, или

D= ee_оE (3.20) где e — диэлектрическая проницаемость вещества: e= 1 +À. (3.21) Диэлектрическая проницаемость e (как и À) является основ­ной электрической характеристикой диэлектрика. Для всех ве­ществ e>1, для вакуума e=1. Значения e зависят от природы диэлектрика. Из формулы (3.20) видно, что в изотропных диэлектриках вектор D коллинеарен вектору Е. В анизотропных же диэлект­риках эти векторы, вообще говоря, не коллинеарны. Поле вектора D наглядно можно изобразить с помощью ли­ний вектора D, направление и густота которых определяются точно так же, как и для линий вектора Е. Линии вектора Е мо­гут начинаться и заканчиваться как на сторонних, так и на связанных зарядах; мы говорим, что источниками и стоками поля Е являются любые заряды. Источниками же и стоками поля вектора D являются только сторонниезаряды: только на них могут начинаться и заканчиваться линии вектора D. Через области поля, где находятся связанные заряды, линии вектора D проходят не прерываясь.

Условия на границе.Пусть для большей общности на границе раздела диэлектриков нахо­дится поверхностный сторонний заряд. Искомые условия не­трудно получить с помощью двух теорем: теоремы о циркуля­ции вектора Е и теоремы Гаусса для вектора D:

Условие для вектора Е. Пусть поле вблизи границы раздела в диэлектрике 1 равно Е₁, а в диэлектрике 2 — Е₂. Возьмем небольшой вытянутый прямоугольный контур, ориентировав его так, как указано на рис. 3.7. Стороны контура, параллельные границе раздела, должны иметь такую длину, чтобы в ее пределах поле Е в каждом диэлектрике можно было считать одинаковым, а «высота» контура должна быть пренебрежимо малой. Тогда согласно теореме о циркуляции вектора Е: Е_2t l + Е_{1t ¢} l = 0, где проекции вектора Е взяты на направление обхода контура, указанное на рисунке стрелками. Если на нижнем участке кон­тура проекцию вектора Е взять не на орт t¢, а на общий орт t, то E_1t¢ = -E_1t и из предыдущего уравнения следует, что E_1t = E_2t (3.22) т. е. тангенциальная составляющая Е оказывается одинаковой по обе стороны границы раздела (не претерпевает скачка).

Условие для вектора D. Возьмем очень малой высоты цилиндр, располо­жив его на границе раздела двух диэ­лектриков (рис. 3.8). Сечение цилиндра должно быть таким, чтобы в пределах каждого его торца вектор D был одина­ков. Тогда согласно теореме Гаусса для вектора D:D_{2 n} DS + D_{1 n¢} DS = s DS, где s — поверхностная плотность стороннего заряда на границе раздела. Взяв обе проекции вектора D на общую нормаль n (она направлена от диэлектрика 1 к диэлектрику 2), получим D_1n¢ = –D_ln и предыдущее уравнение можно привести к виду D_2n-D_ln=s (3.23) Из этого соотношения видно, что нормальная составляющая вектора D, претерпевает скачок при переходе границы раздела. Однако если сторонние заряды на границе раздела отсутствуют (s = 0), то D_1n = D_2n (3.24) В этом случае нормальные составляющие вектора D скачка не испытывают, они оказываются одинаковыми по разные сторо­ны границы раздела. Т. о., если на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков сторонних зарядов нет, то при пере­ходе этой границы составляющие E_t и D_t не изменяются. Со­ставляющие же E_n и D_t претерпевают скачок.

Преломление линий E и D. Полученные условия для составляющих векторов ЕиD на границе разде­ла двух диэлектриков означают, как мы сейчас увидим, что линии этих векторов испытывают на этой границе излом, преломляются (рис. 3.9). Найдем соотношение между углами a₁ и a₂. Если сторонних зарядов на границе раздела нет, то согласно (3.22) и (3.24) E_2t = E_lt, e₂Е_2n = e₁Е_1n . Из рис 3.9 следует, что

Отсюда с учетом предыдущих условий получаем закон пре­ломления линий Е, а значит, и линий D:

Это означает, что в диэлектрике с большим значением e ли­нии Е иD будут составлять больший угол с нормалью к грани­це раздела (на рис. 3.9 e₂ > e₁).

Условие на границе проводник — диэлектрик. Если среда 1— проводник, а среда 2 — диэлектрик (см. рис. 3.8), то из формулы (3.23) следует, что D_n=s (3.26 ) где n — внешняя по отношению к проводнику нормаль (двойка в индексе здесь опущена, поскольку она не существенна в дан­ном случае). Убедимся в справедливости формулы (3.26 ). В со­стоянии равновесия электрическое поле внутри проводника E = 0, значит, и поляризованность Р = 0. А это, в свою очередь, означает согласно (3.17), что и вектор D = 0 внутри проводника, т. е. в обозначениях формулы (3.23) D₁ = 0 и D_1n = 0. Остается D_2n = s

Связанный заряд у поверхности проводника. Если к заря­женному участку поверхности проводника прилегает однород­ный диэлектрик, то на границе этого диэлектрика с проводни­ком выступают связанные заряды некоторой плотности s' (на­помним, что для однородного диэлектрика объемная плотность связанных зарядов r' = 0). Применим теперь теорему Гаусса к вектору Е. Имея в виду, что на границе раздела проводника с диэлектриком есть как сторонние, так и связанные заряды (s и s'), придем к следующему выражению: Е_n= (s + s')/e₀. С другой стороны, согласно (3.26) Е_п = D_п /ee₀ = s/ee₀. Из этих двух урав­нений находим: s/e = s + s', откуда σ’= –σ(ε–1)/ε. (3.27)Видно, что поверхностная плотность s' связанного заряда в диэлектрике однозначно связана с поверхностной плотностью s стороннего заряда на проводнике, причем знаки этих зарядов противоположны.