ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

2.1.ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК. СИЛА И ПЛОТНОСТЬ ТОКА

Электрический ток – всякое упорядоченное движение электрических зарядов. Электрический ток, который возникает как упорядоченное движение свободных зарядов под действием электрического поля в проводящих средах, называется током проводимости.

Кроме тока проводимости существуют другие виды тока. Если какое-то тело зарядить и перемещать в пространстве, то в этом случае электрические заряды будут перемещаться вместе с макроскопическим телом. Такой ток называют конвекционным или переносным.

В случае тока в вакууме микроскопические электрические заряды движутся в пустоте независимо от макроскопических тел (например, потоки электронов в электрической лампе).

Для существования и появления тока необходимы следующие условия:

1) наличие в данной среде свободных носителей заряда, т.е. частиц, которые могли бы упорядоченно перемещаться.

2) существование в данной среде внешнего электрического поля, энергия которого расходуется на упорядоченное перемещение электрических зарядов.

3) источник энергии, пополняющий запас энергии электрического поля.

За положительное направление тока принято направление упорядоченного движения положительных электрических зарядов.

Сила тока – это скалярная величина, равная отношению заряда dq, переносимого через рассматриваемую поверхность dS за малый промежуток времени, к величине dt этого промежутка:

.

Если сила и направление тока не меняется во времени, ток называется постоянным:

,

где q –заряд, переносимый через рассматриваемую поверхность за конечный интервал времени

t .

Сила тока в системе СИ измеряется в Амперах .

Характеристикой тока, отражающей его распределение по поверхности, является плотность тока . Плотность тока - векторная величина, направленная противоположно движению электронов, и численно равная отношению силы тока через очень малый элемент поверхности, нормальный к направлению движения зарядов, к величине площади этого элемента:

,

где - орт вектора , совпадающий с нормалью к поверхности . Для произвольно ориентированного элемента dS имеем:

,

где -угол между направлением тока и нормалью к dS.

Для постоянного тока по всему поперечному сечению S однородного проводника, сила тока I=jS.

Зная вектор в каждой точке пространства, можно найти силу тока через любую поверхность :

.

Таким образом, сила тока есть поток вектора плотности тока через поверхность S.

Электрический ток может быть обусловлен движением как положительных, так и

отрицательных носителей. Перенос отрицательного заряда в одном направлении эквивалентен переносу такого же по величине положительного заряда в противоположном направлении.

Если ток создается носителями обоих знаков, и за время dt через данную поверхность положительные носители переносят заряд в одном направлении, а отрицательные - заряд в противоположном, то

.

Поле вектора плотности тока можно изобразить с помощью линий тока, которые

стоятся так же, как линии вектора . Линии тока – это кривые, касательные в каждой точке к которым совпадают по направлению с вектором .

Пусть в единице объема содержится положительных носителей и – отрицательных. Алгебраическая величина зарядов носителей равна соответственно и . Если под действием поля носители приобретают средние скорости и , то за единицу времени через единичную площадку пройдет положительных носителей, которые перенесут заряд , отрицательные носители перенесут в противоположном направлении заряд .

Тогда плотность тока равна , или в векторной форме ,

оба слагаемых имеют одинаковое направление (скорость направлена противоположно ,дает знак минус, поэтому имеет то же направление, что ).

Произведение - плотность заряда положительных носителей, –плотность заряда отрицательных носителей, тогда

.

Рассмотрим некоторую среду, в которой течет ток. Выберем воображаемую замкнутую поверхность S. Заряд, выходящий в единицу времени из объема V,ограниченного поверхностью S, согласно закону сохранения заряда, равен скорости убывания заряда q, содержащегося в данном объеме (рис.2.1(

.

Но , тогда . Преобразуем это выражение по теореме Остроградского-Гаусса, имеем . Это равенство выполняется при произвольном выборе объема V, следовательно, в каждой точке пространства должно выполняться условие

.

Это равенство получило название уравнения непрерывности. Оно выражает закон сохранения заряда. Согласно этому уравнению, в точках, которые являются источниками вектора , происходит убывание заряда.

В случае стационарного тока объемная плотность заряда не зависит от времени, тогда уравнение непрерывности имеет вид:

- в случае постоянного тока вектор не имеет источников. Это означает, что линии тока нигде не начинаются и нигде не заканчиваются. Следовательно, линии постоянного тока всегда замкнуты, и число линий, в замкнутую поверхность, равно числу линий, выходящих их поверхности, .

 

2.2. ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА

 

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля равна нулю, поэтому в замкнутой цепи наряду с участками, на которых положительные носители движутся в сторону убывания потенциала , должны иметься участки, на которых перенос положительных зарядов происходит в направлении возрастания , т.е. против сил электростатического поля. Перемещение носителей на этих участках возможно лишь с помощью сил неэлектрического происхождения, называемых сторонними силами. Таким образом, для поддержания тока необходимы сторонние силы, действующие либо на всем протяжении цепи, либо на отдельных ее участках. Эти силы могут быть обусловлены химическими процессами, диффузией носителей тока в неоднородной среде и т.д. Сторонние силы действуют на носители тока, вызывая их упорядоченное движение, и поддерживают ток в цепи (рис.2.2).

Величина, равная работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда по цепи, называется электродвижущей силой (ЭДС) :

.

Если на заряд q действует сторонняя сила , где –напряженность поля сторонних сил, то работа сторонних сил над зарядом q на участке цепи 1-2 равна:

.

Для ЭДС на участке цепи имеем:

.

Если цепь замкнута -

ЭДС равна циркуляции вектора напряженности поля сторонних сил.

Кроме сторонних сил, на заряд действуют силы электростатического поля:

.

Результирующая всех сил:

.

Работа этой силы под зарядом q на участке 1-2

Для единичного положительного заряда

- мы получили выражение для падения напряжения на данном участке.

Падением напряжения (или просто напряжением) на участке цепи 1-2 называется физическая величина, численно равная работе, совершаемой суммарным полем кулоновских и сторонних сил при перемещении вдоль цепи единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.

Если (сторонние силы не действуют) участок называется однородным:

.

2.3. ЗАКОН ОМА. СОПРОТИВЛЕНИЕ

Закон Ома был экспериментально открыт в 1826 году в следующей форме:

Сила тока, текущего по однородному металлическому проводнику, пропорциональна падению напряжения U на проводнике:

, (2.1)

где R электрическое сопротивление проводника, , -удельное сопротивление (), -длина, S –площадь сечения проводника.

Однородным называется такой участок цепи, на котором действуют только электростатические силы. Выражение (2.1) определяет соотношение между током и напряжением для однородного участка цепи и называется законом Ома в интегральной форме.

Единица сопротивления – Ом,

Сопротивление проводника определяется его геометрическими размерами () и материалом, их которого этот проводник изготовлен. Наименьшими удельными сопротивлениями обладают серебро, медь, золото, алюминий. Величина γ, обратная удельному сопротивлению, называется удельной электропроводимостью или электропроводностью вещества. В дифференциальной форме закон Ома принимает вид:

- вектор плотности тока равен произведению электропроводности и вектора напряженности электростатического поля.

- Действительно, рассмотрим однородный участок проводника, в пределах которого площадь сечения остается постоянной (рис. 2.3). Тогда сила тока равна , связь напряженности и потенциала дает значение напряжения , сопротивление участка определяется формулой. Подставив в формулу (2.1), имеем:

; отсюда или .

Закон Ома объясняет классическая теория металлов, созданная физиками Друде

и Лоренцем. Согласно этой теории валентные электроны в металле являются общими для всех атомов и движутся в пространстве между положительными ионами, которые находятся в узлах кристаллических решеток. Электроны проводимости образуют электронный газ, подчиняющийся законам идеального газа. Однако, в отличие от молекул идеального газа, которые при движении сталкиваются друг с другом, электроны в металле сталкиваются с узлами кристаллической решетки, и расстояние, которое проходит электрон между двумя такими соударениями, есть длина свободного пробега электрона λ. В результате таких столкновений устанавливается тепловое равновесие между электронным газом и кристаллической решеткой. Друде распространил на электронный газ результаты кинетической теории газов. В этой теории средняя скорость теплового движения электронов равна , при комнатной температуре При внесении проводника в поле, на хаотическое тепловое движение электронов накладывается упорядоченное движение электронов некоторой средней скоростью , при этом плотность тока:

.

Максимально возможное значение , т.е. в раз меньше средней скорости теплового движения .

Найдем изменение кинетической энергии электронов, вызываемое полем. Для этого определим средний квадрат результирующей скорости:

Величины и независимы, поэтому , (среднее значение вектора скорости теплового движении электронов равно нулю, т.к. ее направление меняется хаотично) , следовательно,

.

Таким образом, упорядоченное движение увеличивает кинетическую энергию электронов на

.

Двигаясь в кристалле, электроны испытывают соударение с узлами кристаллической решетки. Время между двумя соударениями:

,

где -длина свободного пробега электрона в металле.

Друде предположил, что при соударении электронов с узлом кристаллической решетки вся дополнительная энергия передается иону, в результате соударения u=0. Если поле, ускоряющее электроны, однородно, электрон получает постоянное ускорение , и к концу пробега скорость упорядоченного движения достигает максимума(рис.2.4)

.

Скорость u изменяется во времени линейно, поэтому

Для плотности тока j получим: , т.е. j ~ E – это закон Ома. Коэффициент пропорциональности есть проводимость. Если бы электроны не сталкивались с ионами кристаллической решетки, их скорости росли бы беспрепятственно, и проводимость была бы неограниченно большой , т.к. неограниченно росла бы при этом длина свободного пробега..

Сопротивление проводника зависит от температуры и давления. Сопротивление металлических проводников зависит от температуры по закону(рис.2.5)

,

где - температурный коэффициент сопротивления. Для некоторых металлов и сплавов вблизи абсолютного нуля температуры наблюдается скачкообразное падение сопротивления практически до нуля. Это явление называют сверхпроводимостью. Температура перехода в сверхпроводящее состояние для разных металлов лежит в интервале от 2 до 10 К.

 

2.4. ЗАКОН ОМА ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УЧАСТКА ЦЕПИ

На носители тока на неоднородном участке цепи действуют, кроме электростатических сил , еще и сторонние силы . Сторонние силы способны вызывать упорядоченное движение носителей тока так же, как и силы электростатические. На неоднородном участке цепи средняя скорость упорядоченного движения носителей пропорциональна суммарной силе , тогда плотность тока

(2.2)

– это закон Ома для неоднородного участка цепи в дифференциальной форме.

Перейдем к интегральной форме этого закона. Рассмотрим неоднородный участок цепи. Допустим, что внутри этого участка существует линия (контур тока) удовлетворяющая следующим условиям:

1) в каждом сечении, перпендикулярном к контуру, величины ,,и имеют с достаточной точностью одинаковые значения;

2) векторы ,,в каждой точке направлены по касательной к контуру. Поперечное сечение проводника может быть непостоянным.

Выберем произвольно направление движения по контуру.

Пусть выбранное направление соответствует перемещению от конца 1 к концу 2 участка цепи. Спроектируем выражение (2.2) на элемент контура1-2:

, (2.3)

причем ; ; . Знак «+» берем в том случае, если ток течет от 1 к 2, «-»если ток течет в направлении 2 к 1. Вследствие сохранения заряда сила постоянного тока в каждом сечении должна быть одинаковой. Поэтому вдоль контура . Силу тока в данном случае нужно рассматривать как алгебраическую величину. Направление 1-2 выбрано произвольно, поэтому, если ток течет в выбранном направлении, его считают положительным, если в направлении 2-1 – отрицательным. Заменим ; , тогда из (2. 3):

.

Умножим это выражение на и проинтегрируем вдоль контура:

Здесь – сопротивление всей цепи, - разность потенциалов на сопротивление R, - ЭДС, действующая на участки 1,2. Тогда , а ток

– это закон Ома для неоднородного участка цепи.

Если цепь замкнутая, то ; и .Тогда -закон Ома для замкнутой цепи. Если в цепи действует несколько ЭДС, то равна их алгебраической сумме.

 

2.5.РАЗВЕТВЛЕННЫЕ ЦЕПИ. ПРАВИЛА КИРХГОФА

 

На практике часто требуется рассчитать разветвленную цепь. Это цепь, содержащая несколько ветвей. Ветвь образуется одним или несколькими последовательно соединенными участками цепи. Место соединения трех или более ветвей называется узлом (рис 2.8). Ветви, присоединенные к одной паре узлов, называются параллельными. Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, называется контуром (рис.2.9). Рассчитать электрическую цепь – означает вычислить токи во всех ее ветвях по известным значениям сопротивлений и ЭДС, действующих в ветвях. Этот расчет упрощается, если использовать правила Кирхгофа. Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

. (2.4)

Если ток направлен к узлу, он входит в выражения (2.4) со знаком «+». Если от узла – со знаком «-».

Это правило вытекает из уравнения непрерывности, т.е. в конечном счете, из закона сохранения заряда. Действительно, для постоянного тока , тогда поток вектора через любую замкнутую поверхность, окружающую узел, равна нулю, Но поток равен алгебраической сумме токов, сходящихся в узле, следовательно, . Если ток направлен к узлу, он входит в выражения (2.4) со знаком «+». Если от узла – со знаком «-».

Второе правило относится к любому выделенному в разветвленной цепи замкнутому контуру и является обобщением закона Ома на разветвленные цепи:

(2.5)

- сумма падений напряжений на всех участках замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре. Здесь n – число участков, на которые контур разбивается узлами, - соответственно, сила тока, сопротивление и ЭДС k-того участка.

Для составления уравнений (2.5) необходимо произвольно выбрать направление обхода контура (по часовой стрелке или против нее). Все токи на участках, совпадающие с направлением обхода, считают положительными, несовпадающие – отрицательными. Далее, необходимо учитывать правило знаков для ЭДС источников: если напряженность поля сторонних сил в источнике совпадает с направлением обхода участка (т.е. внутри источника обход связан с перемещением положительных зарядов от катода к аноду), то при подсчете ЭДС этого источника считают положительной, в противном случае – отрицательной (рис. 2.10).

При расчете разветвленных цепей постоянного тока рекомендуется:

- произвольно выбрать и обозначить на схеме цепи направления токов во всех участках цепи;

- для каждого узла цепи записать уравнение для токов по первому правилу Кирхгофа;

- выделить в разветвленной цепи всевозможные замкнутые контуры, в каждом контуре произвольно выбрать направления обхода и записать уравнения для напряжений по второму правилу Кирхгофа; при составлении уравнений контуры следует выбирать так, чтобы каждый новый контур содержал хотя бы один участок цепи, не входящий в уже рассмотренные контуры;

- из записанных уравнений выбрать k любых независимых уравнений (k – число неизвестных токов); решая полученную систему, найти значения токов;

- если в результате расчета получается отрицательное значение силы тока на каком-либо участке цепи, это означает, что электрический ток в действительности идет в направлении, противоположном выбранному при расчете.

Рассмотрим пример расчета разветвленной цепи, представленной на рис.2.8. Выберем направление обхода контура АВСD – против часовой стрелки, а контура AFED –по часовой стрелке. Такой выбор позволяет учитывать ЭДС, действующие в контурах, со знаками «+». Токи в ветвях обозначим , . В этой цепи два узла – A и D, независимых уравнений по первому правилу Кирхгофа – одно:

(2.6)

Цепь содержит два независимых контура АВСD и AFED. По второму правилу Кирхгофа уравнения для этих контуров имеют вид:

; . (2.7)

Решив систему уравнений (2.6) – (2.7), находим неизвестные токи.

 

2.6. МОЩНОСТЬ ТОКА

Рассмотрим произвольный участок цепи постоянного тока, к концам которого приложено напряжение U. За время t через каждое сечение проводника проходит заряд q=It,что равносильно переносу заряда q из одного конца проводника на другой. При этом силы электростатического поля и сторонние силы совершают работу , тогда мощность

.

Эта мощность может расходоваться на совершение работы участком цепи над внешними телами

( для этого участок должен перемещаться в пространстве), на протекание химической реакции и на перемещение данного участка цепи.

Отношения мощности dP , развиваемой в объеме dV, к величине этого объема, называется удельной мощностью тока

.

Найдем выражение для удельной мощности тока. Сила развивает при движении носителя тока мощность:

,

где – скорость хаотического движения, – скорость упорядоченного движения носителей.

Усредним это выражение по носителям, заключенным в объеме dV, в пределах которого и можно считать постоянными:

.

Мощность , развиваемую в объеме , найдем, умножив на число носителей тока в этом объеме :

.

Подставив , имеем:

 

2.7. ЗАКОН ДЖОУЛЯ –ЛЕНЦА

Если ток в цепи постоянен, а проводники, входящие в цепь, неподвижны, работа сторонних сил полностью расходуется на нагревание проводников. Тепловую энергию обозначим W.

Объемной плотностью тепловой мощности тока называется энергия, выделяющаяся в единице объема проводника за единицу времени. Закон Джоуля -Ленца в дифференцированной форме имеет вид:

- объемная плотность тепловой мощности тока равна скалярному произведению векторов плотности тока и напряженности электрического поля.

Объемная плотность тепловой мощности тока прямо пропорциональна квадрату напряженности электрического поля, создающего ток, и удельной проводимости проводника.

Интегрируя это выражение по объему проводника, получим закон Джоуля –Ленца в интегральной форме: количество теплоты, выделяемой в проводнике, пропорционально силе тока, времени его прохождения и падению напряжения:

.

Классическая электронная теория дает следующее объяснение рассматриваемому выше закону.

Кинетическая энергия электрона в конце пробега

.

При столкновении с ионом кристаллической решетки электрон отдает свою энергию, поэтому внутренняя энергия металла возрастает (металл нагревается), число соударений одного электрона , поэтому в единицу времени в единице объема выделяется тепло:

.

Для энергии dW имеем: , причем объём .

Проинтегрировав это выражение, получаем: , причем , , тогда .

Таким образом, количество теплоты, выделяемой в проводнике, равно

.