Уравнение полоской и сферической волн

Волновые процессы представляют собой общий класс явлений.
Несмотря на бесконечное разнообразие физических процессов, вызывающих волны, образование волн происходит по одному общему типу. Возмущение, происшедшее в какой-нибудь точке в известный момент времени, проявляется спустя некоторое время на некотором расстоянии от начальной точки, т. е. передается с определенной скоростью. Рассмотрим самый простой пространственно одномерный случай: распространение возмущения вдоль оси ОХ. Тогда можно изобразить возмущение f как функцию координаты x и времени t, . Распространение возмущения со скоростью u вдоль направления ОХ изобразится той же функцией, в аргумент которой t и x входят в комбинации или в зависимости от направления распространения возмущения вдоль оси ОХ.

В этом случае волновое уравнение (2.5) имеет вид:

, (2.6)

а его общее решение выглядит

. (2.7)

Если в начальный момент времени t = 0 графически изобразить функции x₁(x) и x₂(x), то в последующие моменты времени эти функции будут смещаться вдоль оси ОХ со скоростью u как целое: x₁ – вправо, x₂ – влево.

Рассмотрим гармонические монохроматические волны, т. е. синусоидальные волны с одной циклической частотой w = 2pn.

В этом случае зависимость любой величины f от времени t в общем виде выглядит так:

,

где f₀ – значение рассматриваемой величины в точке с координатой x в начальный момент времени t = 0. Решение волнового уравнения (2.6), удовлетворяющее условию (2.7) и дающее гармоническую зависимость f от t, имеет вид:

. (2.8)

Выражением в формуле (2.8) определяется фаза волны (ее состояние в данный момент времени в данной точке пространства). В данный момент времени волновой фронт – геометрическое место точек, в которых фаза колебаний имеет одно и то же значение – описывается уравнением x = const. Это плоскость, нормальная к оси OX и перпендикулярная направлению распространения волны. Таким образом, волновой фронт распространяется вправо с фазовой скоростью u. Так как волновой фронт является плоскостью, мы получили плоскую волну. Нам необходимо также выражение для плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении, характеризуемом постоянным единичным вектором . Так как уравнение плоскости, перпендикулярной вектору , имеет вид
= const, уравнение плоской волны можно записать в виде:

. (2.9)

Электромагнитные волныпредставляют собой распространение электромагнитных полей в пространстве и времени.

Деление электромагнитного поля на электрическое и магнитное зависит от выбора системы отсчета. Действительно, вокруг зарядов, покоящихся в одной системе отсчета, существует только электрическое поле; однако эти же заряды будут двигаться относительно другой системы отсчета и порождать в этой системе отсчета, кроме электрического, еще и магнитное поле. Таким образом, теория Максвелла связала воедино электрические и магнитные явления.

- всякое изменение электрического поля возбуждает в окружающем пространстве вихревое магнитное поле, линии индукции которого расположены в плоскости, перпендикулярной линиям напряженности переменного электрического поля, и охватывают их (рис.2б).Линии индукции возникающего магнитного поля образуют с вектором «правый винт». Такие волны могут распространяться не только в газах, жидкостях и твердых средах, но и в вакууме.Скорость электромагнитных волн в вакууме с=300000 км/с. Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме является одной из фундаментальных физических постоянных.Распространение электромагнитной волны в диэлектрике представляет собой непрерывное поглощение и переизлучение электромагнитной энергии электронами и ионами вещества, совершающими вынужденные колебания в переменном электрическом поле волны. При этом в диэлектрике происходит уменьшение скорости волны.Электромагнитные волны переносят энергию. При распространении волн возникает поток электромагнитной энергии. Если выделить площадку S (рис. 4), ориентированную перпендикулярно направлению распространения волны, то за малое время Дt через площадку протечет энергия ДWэм, равная

ДWэм = (wэ + wм)хSДt.

При переходе из одной среды в другую частота волны не изменяется.Электромагнитные волны могут поглощаться веществом. Это обусловлено резонансным поглощением энергии заряженными частицами вещества. Если собственная частота колебаний частиц диэлектрика сильно отличается от частоты электромагнитной волны, поглощение происходит слабо, и среда становится прозрачной для электромагнитной волны.Попадая на границу раздела двух сред, часть волны отражается, а часть проходит в другую среду, преломляясь. Если второй средой является металл, то прошедшая во вторую среду волна быстро затухает, а большая часть энергии (особенно у низкочастотных колебаний) отражается в первую среду (металлы являются непрозрачными для электромагнитных волн).Распространяясь в средах, электромагнитные волны, как и всякие другие волны, могут испытывать преломление и отражение на границе раздела сред, дисперсию, поглощение, интерференцию; при распространении в неоднородных средах наблюдаются дифракция волн, рассеяние волн и другие явления.Из теории Максвелла следует, что электромагнитные волны должны оказывать давление на поглощающее или отражающее тело. Давление электромагнитного излучения объясняется тем, что под действием электрического поля волны в веществе возникают слабые токи, то есть упорядоченное движение заряженных частиц. На эти токи действует сила Ампера со стороны магнитного поля волны, направленная в толщу вещества. Эта сила и создает результирующее давление. Обычно давление электромагнитного излучения ничтожно мало. Так, например, давление солнечного излучения, приходящего на Землю, на абсолютно поглощающую поверхность составляет примерно 5 мкПа.