После прохождения светом границы раздела двух сред необходимо определить направление распространения преломленной волны и отраженной волны , и распределение энергии между отраженной и преломленной волной.
В соответствии с уравнением плоской волны (1.4.9) запишем выражения для комплексных амплитуд падающей, отраженной и преломленной волн:
уравнение падающей плоской волны
(3.1.1)
уравнение преломленной плоской волны
(3.1.2)
уравнение отраженной плоской волны
(3.1.3)
где , , – оптические векторы падающей, отраженной и преломленной волн, – волновое число, – радиус-вектор произвольной точки.
Здесь мы используем соотношения скалярной теории, поскольку закон преломления одинаков для векторных и скалярных волн.
Из уравнений падающей и преломленной плоской волны следует, что на границе раздела двух сред у падающей и преломленной волн амплитуды могут быть различны, но должны совпадать значения эйконалов (этого требует условие физической реализуемости, так как иначе волна будет иметь разрыв на границе раздела):
(3.1.4)
Равенство (3.1.4) соблюдается на границе раздела, то есть для всех , перпендикулярных вектору нормали. Таким образом, выражение (3.1.4) можно записать в виде:
при
или:
при
То есть , если . Выполнение этих условий возможно тогда и только тогда, когда . Таким образом, можно вывести формулировки закона преломления в векторной форме:
(3.1.5)
где – некоторый скаляр, или:
(3.1.6)
или:
| (3.1.7) |
Так как длина оптического вектора равна показателю преломления среды (, ), то из выражения (3.1.7) и определения векторного произведения можно вывести классический закон преломления Снеллиуса (Snell law).
Закон преломления (refraction law):
качественная часть закона:
падающий луч, преломленный луч и нормаль к поверхности раздела двух сред в точке падения лежат в одной плоскости.
количественная часть закона:
произведение показателя преломления на синус угла между лучом и нормалью сохраняет свое значение при переходе в следующую среду:
| (3.1.8) |
Чтобы найти скаляр , домножим скалярно выражение (3.1.5) на вектор нормали :
, следовательно
| (3.1.9) |
где
Величина имеет большое значение в математическом аппарате расчета лучей (ray tracing) на компьютере.