Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной формах

В курсе общей физики показывается, что основные эмпирические законы электродинамики посредством введения понятий потока векторного поля через замкнутую поверхность и циркуляции векторного поля по замкнутой кривой можно записать в виде:

 

 

 

 

 

Уравнения (2.1) и (2.2) – это уравнения электростатики в интегральной форме, а уравнения (2.3) и (2.4) – уравнения магнитостатики в интегральной форме. Уравнение (2.5) – это закон электромагнитной индукции в интегральной форме. В этих уравнениях

 

Мы будем рассматривать электродинамику немагнитных сред, поэтому всегда будем считать, что поэтому .

Если ввести понятия объемной плотности электрических зарядов (Кл/м³) и плотности электрических токов (А/м²) соответственно как

 

то величины заряда в (2.1) и силы тока в (2.4) можно записать в виде:

 

Уравнения (2.1–2.5) отражают следующие эмпирически установленные факты:

– неподвижные электрические заряды порождают электростатическое (кулоновское) поле ;

– движущиеся электрические заряды (токи) порождают магнитное поле ;

– меняющееся во времени магнитное поле порождает вихревое (не кулоновское) электрическое поле .

В этой цепочке связей отсутствует возможность меняющемуся во времени электрическому полю порождать магнитное поле. Эта возможность не была открыта экспериментально, а предсказана теоретически великим Джеймсом К. Максвеллом. Он предположил, что меняющееся во времени электрическое поле порождает в пространстве токи смещения плотности

 

и величины

 

Этот ток смещения необходимо добавить в правую часть уравнения (2.4).

Представим также электрическое поле в виде суммы кулоновского поля и вихревого поля :

.

Циркуляция кулоновского поля по замкнутому контуру равна нулю, а поток вихревого поля через замкнутую поверхность тоже равен нулю. Поэтому

 

и

 

С учетом всех изложенных выше определений и соображений уравнения Максвелла в интегральной форме можно записать в виде:

 

 

 

 

Эти уравнения свидетельствуют о взаимной обусловленности изменяющихся в пространстве и времени электрических и магнитных полей. Взаимно обусловленные (порождающие друг друга) электрические и магнитные поля образуют электромагнитное поле. Электростатические и магнитостатические поля – частные случаи электромагнитного поля.

Систему уравнений (2.6–2.9) редко используют при решении практических задач, хотя по отдельности эти уравнения иногда и рассматриваются. Они являются следствием эмпирических формул электродинамики (законов Кулона, Ампера, Фарадея и т.д.), которые описывают взаимодействие сосредоточенных (на поверхностях, в объеме) зарядов и токов в проводниках. Для решения практических задач нужно иметь формулы, которые электромагнитное поле описывают в точке, т.е. дифференциальные уравнения относительно электрической и магнитной составляющих этого поля. Такие уравнения получаются из интегральных уравнений (2.6–2.9) путем преобразований с использованием формул векторного анализа (Стокса и Гаусса–Остроградского).

Левые части уравнений (2.6) и (2.7) преобразуются по формуле Стокса, а левые части уравнений (2.8) и (2.9) – по формуле Гаусса–Остроградского. Эти очевидные преобразования представлены ниже.

 

 

 

 

 

 

 

Равенство подынтегральных функций имеет место в силу произвольности поверхностей S, натянутых на контур C, и объемов V, заключенных внутри замкнутых поверхностей.

Окончательно, система уравнений Максвелла в дифференциальной форме, описывающая электромагнитное поле в произвольной точке пространства в произвольный момент времени, имеет вид:

 

 

 

 

Еще раз имеет смысл напомнить, что уравнение (I), (2.10) – это дифференциальная форма закона электромагнитной индукции Фарадея. Уравнение (II), (2.11) – это обобщенный закон полного тока, вытекающий из законов Ампера, Био-Савара-Лапласа и введенного Максвеллом тока смещения. Уравнение (III), (2.12) – это дифференциальная форма закона Кулона, и, наконец, уравнение (IV), (2.13) – это математическая констатация факта отсутствия в природе магнитных монополей (зарядов).

Дополнительно с системой (2.10–2.13) рассматривают еще так называемые материальные уравнения, связывающие векторы и с величинами, характеризующими электрические и магнитные свойства среды:

 

Уравнение (2.14) – это закон Ома в дифференциальной форме. В (2.15) – это напряженность магнитного поля, а – индукция электрического поля.

Уравнения Максвелла являются основными уравнениями электродинамики неподвижных сред. Они являются феноменологическими (полученными из опыта) и макроскопическими уравнениями. Электродинамические процессы, описываемые этими уравнениями, протекают в объемах, много больших атомарных объемов, и вдали от источников электромагнитного поля.

Далее мы будем рассматривать, во-первых, немагнитные среды ( ), во-вторых, однородные и изотропные по своим электрическим свойствам среды, т.е. будем считать, что и есть константы во всех точках среды.