Электромагнитные волны в вакууме

Рассмотрим систему уравнений Максвелла для вакуума. В этом случае мы должны положить

 

Тогда вместо (2.10–2.13) будем иметь

 

 

 

 

Возьмем ротацию от первого уравнения:

 

Отсюда

где величина

 

называется электродинамической постоянной или просто скоростью света. Ее значение

 

Уравнение (2.16) – это типичное волновое уравнение, дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных.

Взяв ротацию от второго уравнения Максвелла, аналогично предыдущему легко получить волновое уравнение и на магнитную составляющую:

 

Электромагнитные волны в вакууме являются поперечными. Если – единичный вектор ( ), ориентированный вдоль направления распространения волны, то непосредственно из уравнений Максвелла можно показать, что

 

Отсюда по измеренной величине амплитуды магнитного поля в электромагнитной волне можно вычислить амплитуду электрической составляющей :

 

Векторы , и ,как следует из (2.18), составляют правую тройку векторов.

Энергия электромагнитной волны переносится вдоль направления ее распространения, т.е. вдоль вектора . Интенсивность переноса энергии характеризуется вектором Умова-Пойнтинга:

 

Размерность величины есть

 

Другими словами, модуль вектора Умова-Пойнтинга равен мгновенному потоку энергии, переносимой электромагнитной волной через единицу площади в единицу времени. Направлен вектор вдоль направления распространения волны. Если электромагнитная волна гармоническая, то среднее за период значение модуля вектора Умова-Пойнтинга равно

 

Множитель ½ появился в результате усреднения гармонической функции (синуса или косинуса) по периоду.

Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси OZ. Это означает, что

 

Тогда волновое уравнение, скажем, для будет иметь простой вид:

 

Пусть волна монохроматическая, т.е.

 

Тогда

 

Отсюда имеем

 

Или

 

Уравнение вида (2.21) называется уравнением Гельмгольца. Его частное решение имеет вид:

 

Вдоль оси OZ электрическая составляющая электромагнитного поля изменяется по гармоническому закону. Параметр

 

называется волновым числом. Его размерность – м^–1.

Тогда частное решение уравнения (2.20) будет иметь вид:

 

где – константа (в общем случае комплексная).

Для магнитной составляющей, как немедленно следует из (2.17), решение волнового уравнения для рассматриваемого случая будет иметь точно такой же вид.

Формула (2.22) – это есть уравнение, описывающее бегущую в направлении OZ плоскую монохроматическую волну. Если волна распространяется в положительном направлении OZ, то в (2.22) нужно взять знак «минус».

Величина

 

называется фазой волны. Из условия постоянства во времени фазы находим фазовую скорость волны:

 

 

В вакууме фазовая скорость электромагнитной волны от частоты не зависит. Она постоянная и равна скорости света.

Если – период волны, –частота, то длина волны равна

 

Волновое число с длиной волны связано соотношением

 

Волновое число еще называют пространственной частотой.

Если среда, в которой распространяется электромагнитная волна, не вакуум, а диэлектрик с относительной диэлектрической проницаемостью , то фазовая скорость будет равна

 

т.е. в раз меньше скорости света в вакууме. Соответственным образом изменятся длина волны и волновое число.