Рассмотрим систему уравнений Максвелла для вакуума. В этом случае мы должны положить
Тогда вместо (2.10–2.13) будем иметь
Возьмем ротацию от первого уравнения:
Отсюда
где величина
называется электродинамической постоянной или просто скоростью света. Ее значение
Уравнение (2.16) – это типичное волновое уравнение, дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных.
Взяв ротацию от второго уравнения Максвелла, аналогично предыдущему легко получить волновое уравнение и на магнитную составляющую:
Электромагнитные волны в вакууме являются поперечными. Если – единичный вектор ( ), ориентированный вдоль направления распространения волны, то непосредственно из уравнений Максвелла можно показать, что
Отсюда по измеренной величине амплитуды магнитного поля в электромагнитной волне можно вычислить амплитуду электрической составляющей :
Векторы , и ,как следует из (2.18), составляют правую тройку векторов.
Энергия электромагнитной волны переносится вдоль направления ее распространения, т.е. вдоль вектора . Интенсивность переноса энергии характеризуется вектором Умова-Пойнтинга:
Размерность величины есть
Другими словами, модуль вектора Умова-Пойнтинга равен мгновенному потоку энергии, переносимой электромагнитной волной через единицу площади в единицу времени. Направлен вектор вдоль направления распространения волны. Если электромагнитная волна гармоническая, то среднее за период значение модуля вектора Умова-Пойнтинга равно
Множитель ½ появился в результате усреднения гармонической функции (синуса или косинуса) по периоду.
Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси OZ. Это означает, что
Тогда волновое уравнение, скажем, для будет иметь простой вид:
Пусть волна монохроматическая, т.е.
Тогда
Отсюда имеем
Или
Уравнение вида (2.21) называется уравнением Гельмгольца. Его частное решение имеет вид:
Вдоль оси OZ электрическая составляющая электромагнитного поля изменяется по гармоническому закону. Параметр
называется волновым числом. Его размерность – м–1.
Тогда частное решение уравнения (2.20) будет иметь вид:
где – константа (в общем случае комплексная).
Для магнитной составляющей, как немедленно следует из (2.17), решение волнового уравнения для рассматриваемого случая будет иметь точно такой же вид.
Формула (2.22) – это есть уравнение, описывающее бегущую в направлении OZ плоскую монохроматическую волну. Если волна распространяется в положительном направлении OZ, то в (2.22) нужно взять знак «минус».
Величина
называется фазой волны. Из условия постоянства во времени фазы находим фазовую скорость волны:
В вакууме фазовая скорость электромагнитной волны от частоты не зависит. Она постоянная и равна скорости света.
Если – период волны, –частота, то длина волны равна
Волновое число с длиной волны связано соотношением
Волновое число еще называют пространственной частотой.
Если среда, в которой распространяется электромагнитная волна, не вакуум, а диэлектрик с относительной диэлектрической проницаемостью , то фазовая скорость будет равна
т.е. в раз меньше скорости света в вакууме. Соответственным образом изменятся длина волны и волновое число.