Плоское электромагнитное поле в проводящей среде

Разделить переменные в уравнениях Максвелла можно только в том случае, если т.е. если равна нулю объемная плотность зарядов. Для вакуума и в какой-то мере для воздуха это очевидно. Покажем, что это приближение справедливо и для проводников в определенном диапазоне частот электромагнитных волн.

Дополнительно к третьему уравнению Максвелла

 

рассмотрим еще два материальных уравнения, а именно, закон Ома в дифференциальной форме

 

и закон сохранения заряда также в дифференциальной форме

 

Из последнего уравнения с учетом предыдущих получаем:

 

Следовательно,

 

где

 

есть константа среды, которую называют временем релаксации несвязанных зарядов. По порядку величины поэтому для проводников ( ) , а для горных пород ( ) . Поэтому даже для горных пород, в которых распространяются электромагнитные волны мегагерцового диапазона (не говоря уже о волнах меньшей частоты), несвязанные (свободные) заряды успевают колебаться вместе с электрическим полем. Следовательно, для большинства практических задач можно считать, что

В этом случае система уравнений Максвелла приобретает вид:

 

 

С этими уравнениями рассматривают также закон Ома в виде: .

Возьмем ротацию от первого уравнения и выполним простейшие преобразования.

 

 

Совершенно аналогичное уравнение получается и для магнитной составляющей электромагнитной волны, если взять ротацию от второго уравнения Максвелла.

 

Уравнения (2.23) и (2.24) иногда называют телеграфными уравнениями. Вообще говоря, это волновые уравнения для проводящих сред, в которых энергия электромагнитной волны рассеивается (диссипирует) за счет выделения в проводнике джоулева тепла Дж/м³.

Опять для простоты рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси OZ, т.е. положим, что

 

Тогда волновое уравнение (2.23) примет следующий вид:

 

Будем искать решение уравнения (2.25) в виде плоской гармонической волны:

.

Подставляя это решение в (2.25), получаем так называемое дисперсионное уравнение – уравнение связи волнового числа и частоты:

 

из которого имеем

 

Из (2.26) видно, что для проводящих сред волновое число является комплексным числом. Естественно, что в предельном случае при волновое число становится действительным.

Найдем действительную и мнимую части волнового числа. Пусть

 

Тогда

 

Сравнивая с (2.26), получаем

 

 

Отсюда имеем

 

 

В этих формулах величина

 

называется тангенсом угла диэлектрических потерь. По своей сути это есть отношение токов проводимости к токам смещения, которые возникают в среде в результате воздействия на нее гармонической электромагнитной волны.

В разведочной (полевой) геофизике практический интерес представляет предельный случай, когда токи проводимости превалируют над токами смещения, т.е. когда . В этом случае непосредственно из (2.26) следует, что

 

Поэтому

 

и

 

Равенство (2.29) можно получить и из уравнений (2.27) и (2.28) в предельном переходе

Итак, решение уравнения (2.25) можно записать в виде

 

В приближении хорошо проводящей среды и не очень высоких частот фазовая скорость будет равна

 

Из (2.30) следует, что фазовая скорость, а следовательно и длина электромагнитной волны зависят от частоты, а именно

 

Эту зависимость называют дисперсией электромагнитных волн.

Амплитуда плоской электромагнитной волны при прохождении ее через проводящую среду экспоненциально затухает по закону

 

Расстояние

 

на котором амплитуда волны уменьшается в e раз, называется толщиной скин-слоя. Это эффективная глубина проникновения электромагнитной волны в проводник.

Рассмотрим два примера.

1. Плоская электромагнитная волна частоты 1 кГц распространяется в горной породе с УЭС, равным 10² Ом∙м ( .

Фазовая скорость этой волны равна

 

что много меньше скорости света в вакууме.

Толщина скин-слоя равна

 

2. Плоская электромагнитная волна частоты 1 МГц распространяется в металлическом проводнике с электропроводностью

Фазовая скорость этой волны равна

 

а скин-слой имеет толщину всего

 

Миллиметровый слой хорошего проводника амплитуду электромагнитной волны мегагерцового диапазона ослабит примерно в раз (в 1000 раз!).