В этом разделе мы рассмотрим связь амплитуд электрической и магнитной составляющих в электромагнитной волне, распространяющейся в однородной безграничной среде, с электрическими свойствами этой среды.
Рассмотрим плоскую гармоническую электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси OZ. В этом случае мы можем ее компоненты записать в виде:
В электроразведке используют не магнитную индукцию , а напряженность магнитного поля . Поэтому первое и второе уравнения Максвелла для амплитуд поля можно записать в виде:
где введена для удобства так называемая комплексная электропроводность среды
.
При решении большинства практических задач прием, основанный на введении потенциалов. В электростатике вводят скалярный электростатический потенциал. В нашем случае целесообразно ввести вектор-потенциал электрического типа
Это возможно, поскольку по вычислению.
Тогда из (2.33а) имеем
где – произвольная скалярная функция (скалярный потенциал). в правую часть (2.34) необходимо дописать, поскольку по вычислению. Уравнение (2.34) показывает, что электрическая составляющая электромагнитного поля содержит как вихревую компоненту ( ), так и потенциальную ( ).
Подставляя (2.34) в (2.32b), получаем
.
С другой стороны,
.
Скалярная функция произвольная, поэтому полагают ее равной
Эта процедура называется нормировкой скалярного потенциала. С учетом этой нормировки, получаем, приравнивая правые части выражений для
.
Обозначим
что в точности совпадает с уравнением (2.26) для квадрата волнового числа. Тогда для вектор-потенциала будем иметь уравнение Гельмгольца
решением которого является гармоническая функция
где – векторные константы.
На бесконечности вектор-потенциал должен обращаться в нуль, т.е.
.
Это называется условием нормировки потенциала на бесконечности. Поскольку
то
и условию нормировки на бесконечность удовлетворяет только член, пропорциональный . Поэтому следует положить Таким образом,
.
Далее
Возвращаясь к уравнению (2.34), можем заметить, что потенциальная часть электрического поля имеет проекцию только на ось OZ. Действительно,
и
Тогда
Сравнивая уравнения (2.35) и (2.36), получаем
Величина, определяемая как отношение ортогональных компонент электрической и магнитной составляющих электромагнитного поля, называется импедансомили волновым сопротивлением среды:
Импеданс имеет размерность сопротивления. Действительно,
Вакуум и воздух обладают не нулевым, а конечным волновым сопротивлением . При и
Для случая хорошо проводящей среды имеет место приближение
.
Поэтому
Следовательно,
откуда можно получить формулу для вычисления УЭС среды через ее импеданс:
Если плоская электромагнитная волна падает нормально из воздуха в проводник (по оси OZ), то по измеренным на границе раздела горизонтальным составляющим поля согласно (2.37) можно вычислить импеданс проводника, а по формуле (2.39) вычислить УЭС проводника на данной частоте.
Поскольку эффективная глубина проникновения электромагнитной волны обратно пропорциональна корню квадратному из частоты (формула (2.31)), то анализируя импеданс на разных частотах, можем получить информацию об изменении УЭС среды с глубиной. На этом основаны методы электромагнитного зондирования.
Любой локальный источник электромагнитного поля в общем случае генерирует не плоскую, а в лучшем случае сферическую волну. Однако на достаточно большом удалении от источника фронт этой волны можно рассматривать как плоский. В частности, низкочастотные электромагнитные волны (периоды от миллисекунд до суток), которые генерируются токами в ионосфере, вблизи поверхности Земли можно рассматривать как плоские, или, в крайнем случае, можно разложить на плоские волны. Использование естественных электромагнитных полей, генерируемых в ионосфере (на высотах порядка 100–200 км и выше), лежит в основе магнитотеллурических методов электроразведки.
Естественно, что для электроразведки представляет интерес решение задачи о распространении плоской электромагнитной волны в нижнем полупространстве, падающей из воздуха на поверхность Земли. Нижнее полупространство при этом представляет собой горизонтально слоистую среду, каждый слой характеризуется своей мощностью и своим УЭС. Решение этой задачи впервые было получено Тихоновым и Каньяром. Модель Тихонова-Каньяра является базовой моделью магнитотеллурического зондирования. Ее изучение является одним из разделов курса «Электроразведка».