Магнитным диполем с магнитным моментом называется рамка с током , охватывающем площадку ( – нормаль к этой площадке). Магнитное поле на расстояниях много больше линейных размеров рамки определяется формулой
В сферической системе координат
поэтому компоненты напряженности поля имеют вид:
Пусть ток , следовательно, и магнитный момент , и магнитное поле изменяются с течением времени по гармоническому закону, т.е. пропорционально . Тогда диполь будет генерировать электромагнитное поле. Первые два уравнения Максвелла для пространственных компонент этого поля можно записать в виде:
где для удобства введена комплексная диэлектрическая проницаемость
В данном случае электрическое поле будет чисто вихревым, поэтому удобно ввести вектор-потенциал магнитного типа
Следует заметить, что обозначение для вектор-потенциала мы оставили то же, что и в разделе 2.6, но математический и физический смысл у него совсем другой.
Подставляя (2.42) в (2.41b), получаем
где – произвольная функция координат (скалярный потенциал). Из (2.43) следует, что магнитное поле содержит как вихревую, так и потенциальную части.
Возьмем ротацию от уравнения (2.42) и учтем уравнение (2.41а):
В силу произвольности функции положим
Это условие называется нормировкой скалярного потенциала. С учетом этой нормировки получаем для вектор-потенциала уравнение Гельмгольца:
где – квадрат волнового числа.
Из физических соображений следует, что вектор-потенциал, во-первых, должен быть функцией только радиуса и не зависеть от угловых координат, во-вторых, он должен иметь только одну компоненту – вдоль оси OZ. Таким образом,
В сферических координатах тогда от оператора Лапласа останется только радиальная производная:
Последнее выражение легко преобразовать к виду:
Решением этого уравнения является функция
В силу того, что должно выполнятся условие нормировки потенциала на бесконечности
коэффициент . Обозначим далее
Далее выразим компоненты вектор-потенциала в сферических координатах:
Эти компоненты (проекции вектора ) используем для вычисления проекций в сферической системе координат векторов электрической и магнитной составляющих поля.
Электрическое поле магнитного диполя имеет только азимутальную составляющую.
Согласно (2.43) и (2.44)
Выполнив необходимые вычисления, получаем
Магнитное поле магнитного диполя имеет радиальную и меридиональную составляющие. При ( ) имеем
Сравнивая с выражениями для компонент магнитного поля постоянного диполя, получаем
Итак, выражения для компонент электромагнитного поля, создаваемого переменным магнитным диполем, имеют вид:
В общем случае полученное решение довольно замысловато. В таких случаях принято рассматривать некоторые предельные ситуации. Если , то эту ситуацию называют ближней зоной диполя. Нетрудно убедиться, что в выражениях для компонент электромагнитного поля зависимость от электропроводности среды при этом исчезает.
Больший практический интерес представляет другой предельный случай: . Эту ситуацию называют дальней зоной диполя. Из определения волнового числа следует, что дальняя зона соответствует условиям
В этом случае выражения для компонент электромагнитного поля принимают вид:
На больших расстояниях радиальной составляющей магнитного поля можно пренебречь – она убывает пропорционально . Отношение же к будет зависеть только от частоты и от электромагнитных свойств среды и будет давать импеданс среды:
Если токами смещения пренебречь, то
и выражение для импеданса будет точно такое же, как и в случае плоской волны:
Аналогичные рассуждения можно провести и для гармонического электрического диполя с электрическим моментом . В результате получатся совершенно такие же формулы для электромагнитного поля, в которых вместо будет стоять , вместо – и т.д.
Для диполей, генерирующих электромагнитное поле на поверхности раздела «воздух – нижнее полупространство» все расчеты гораздо сложнее, более громоздкие, с использованием специальных функций (функций Бесселя). Однако в результате все равно в дальней зоне получается выражение для импеданса как отношение ортогональных компонент электромагнитного поля.